1) Sin^4 x - Cos^4 x =1 (Sin² x - Cos² x)( Sin²x + Cos²x ) = 1 Sin ² x - Cos² x = 1 -Cos 2x = 1 Cos 2x = -1 2x = π + 2πk, k ∈Z x = π/2 + πk, k ∈z 2) √3Sin 2x + Sin² x - Cos ²x = 0 2√3 Sin x Cos x +Sin² x - Cos² x = 0 | :Cos² x 2√3 tg x + tg² x -1 = 0 Решаем как квадратное D = 1 + 8√3 tg x = (-1 +- √1 + 8√3)/4√3 3) 6Сos x +1 = 4(2Сos² x - 1) 6 Cos x + 1 - 8 Cos² x +4 = 0 -8Cos ² x + 6Cos x +5 = 0 решаем по чётному коэффициенту: Сos x = (-3 +-√49)/-8 = (-3 +- 7)/-8 а) Cos x = 10/8 б) Cos x = =-1/2 нет решений х = +- arcCos ( -1/2) + 2πк, к∈Z x = +- 2π/3 + 2πk, k ∈Z
√((x+20)/x) -√(-(x -20)/x) = 6 ;
ОДЗ :{ (x+20)/x ≥ 0 ;(x-20)/x ≤0. { x∈ (-∞; -20] U (0;∞) ; x∈( 0;20]. ⇔ x∈( 0;20].
или
√(20/x +1) = 6 +√(20/x -1) ;
(√(20/x +1))² = (6 +√(20/x -1))² ;
20/x +1 = 36 +12√(20/x -1) + 20/x -1
√(20/x -1) = -17/6 невозможно (√ ≥ 0) ;
8
2). √(20/x +1) + √(20/x -1) = √6 ;
ОДЗ : x∈( 0;20] смотри предыдущий пункт .
√(20/x +1) = √6 - √(20/x -1) ;
(√(20/x +1))² = (√6 - √(20/x -1))² ;²
20/x +1 = 6 -2√6*√(20/x -1) +20/x -1 ;
2√6*√(20/x -1) = 4 ;
√6*√(20/x -1) =2 ;
6*(20/x -1) = 4 ;
20/x -1 = 2/3 ;
20/x = 5/3 ;
4/x =1/3 ;
x=12 ∈ ОДЗ .
ответ:12 .
проверка
√(20/12 +1) + √(20/12 -1) = √16/6 +√4/6 =4/√6 + 2/√6 =6/√6=√6.
(Sin² x - Cos² x)( Sin²x + Cos²x ) = 1
Sin ² x - Cos² x = 1
-Cos 2x = 1
Cos 2x = -1
2x = π + 2πk, k ∈Z
x = π/2 + πk, k ∈z
2) √3Sin 2x + Sin² x - Cos ²x = 0
2√3 Sin x Cos x +Sin² x - Cos² x = 0 | :Cos² x
2√3 tg x + tg² x -1 = 0
Решаем как квадратное
D = 1 + 8√3
tg x = (-1 +- √1 + 8√3)/4√3
3) 6Сos x +1 = 4(2Сos² x - 1)
6 Cos x + 1 - 8 Cos² x +4 = 0
-8Cos ² x + 6Cos x +5 = 0
решаем по чётному коэффициенту:
Сos x = (-3 +-√49)/-8 = (-3 +- 7)/-8
а) Cos x = 10/8 б) Cos x = =-1/2
нет решений х = +- arcCos ( -1/2) + 2πк, к∈Z
x = +- 2π/3 + 2πk, k ∈Z