Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 235?

Это арифметическая прогрессия.

a1 = 1; d = 1; любое a(n) = n.

Нужно найти такое n, что S(n) <= 235; S(n+1) > 235.

{ S(n) = (a1 + a(n))*n/2 = (1 + n)*n/2 <= 235

{ S(n+1) = (a1 + a(n+1))*(n+1)/2 = (1 + n + 1)(n + 1)/2 > 235

Получаем

{ (n + 1)*n <= 470

{ (n + 2)(n + 1) > 470

Раскрываем скобки

{ n^2 + n - 470 <= 0

{ n^2 + 3n - 468 > 0

Решаем квадратные неравенства

{ D = 1 + 4*470 = 1881 ≈ 43,4^2

{ D = 9 + 4*468 = 1881 ≈ 43,4^2

Как ни странно, дискриминанта получились одинаковые.

{ n = (-1 + 43,4)/2 <= 21

{ n = (-3 + 43,4)/2 > 20

ответ 21.