:как извлечь корень из числа 1,1025, не пользуясь калькулятором

Легче всего поработать с числами без запятой, то есть с числом 11025 вместо 1,1025. А потом просто разделить на 100 или 10000 в зависимости от числа. 

Проверим 105. 

В дополнение ко всему. Есть такое правило возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Надо умножать предыдущее число перед пятеркой на число на единицу большее этого предыдущего, а потом приписать справа 25. В данном случае берем число 10*11=110, приписываем справа 25 и получаем 11025. То есть исходное число.