Известно, что в прямоугольном треугольнике FKM с прямым углом F гипотенуза KM=16, площадь данного треугольника равна 32. Найди величину ∠K и ∠M. В ответе укажи величину углов по возрастанию через точку с запятой без пробелов.
Например: 13;67.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Дано : ∡ F =90° ;  KM=16;  S =32

                                                                                           ∡K -?  ,  ∡M -?

ответ:  15° , 75° .

Объяснение:  S =a*b/2 , где  a и b катеты треугольника

Меньший  из острых углов обозначим через α , тогда

a = 16sinα  , b = 16cosα    S =16sinα *16cosα /2 = 32  ⇔

2sinα*cosα =1 /2 ⇔ sin2α = 1 /2 ⇒

2α =30°  или  2α =150°  , т.е.  α= 15° или  α=75° .

∡K = α = 15° ( меньший   угол ).

другой острый угол: ∡M =90°- ∡K=90°- 15° =75°.

- - - - - - - - - - - - -   2 - ой

Пусть FM = x ;  FK =y   и пусть  x < y  ( FM_меньший катет)

{ x²+y² =16² ;  xy/2 =32.⇔{ ( x+y)²-2xy=256 ;  xy =64 .⇔

( запись уравнений в системе → в одной строке )

{ ( x+y)²- 2*64=256 ;  xy =64 .⇔{ ( x+y)²=6*64 ;  xy =64 .  || x+y > 0|| ⇔

{ x+y=8√6  ;  xy =64 .     || теорема Виета ||

x² -8√6x +64 = 0    x₁  =4√6 -4√2  ;    x₂ =4√6 +4√2    ||  x₁ <x₂  ||

x = 4√2(√3 -1)

sinα = ( 4√2(√3 -1) ) / 16 =  √2(√3 -1) / 4

cos2α = 1 - 2sin²α = 1 -2 (√2(√3 -1) / 4 )² = 1 -2*2(√3 -1)² / 16 =

1 -(√3 -1)²/4 = ( 4 - (3 -2√3+1) ) / 4  = 2√3 / 4 =√3 / 2

2α = 30° ⇒ α =15°       * * * * * * *  алгебра * * * * * * *