Объём шара равен 4/3πR³. Обозначим ребро куба за 2x, тогда диаметр меньшего шара также равен 2x (меньший шар касается центров всех 6 граней куба, а расстояние между центрами 2 противоположных граней равно ребру куба), а его радиус равен x. Радиус шара, описанного около куба, равен расстоянию от центра куба до его вершины. Это расстояние равно половине большой диагонали куба, а диагональ равна √3*2x, тогда радиус большего шара равен √3*x. Объём большего шара равен 4/3π*3√3*x³, а объём меньшего равен 4/3π*x³. Разделив первое число на второе, получим ответ - 3√3.
Докажем, что произведение среднего арифметического и среднего гармонического двух чисел равно произведению этих чисел. Пусть есть положительные числа a и b, тогда (a+b)/2 - их среднее арифметическое, а 2/(1/a+1/b) - их среднее гармоническое. Последнюю дробь можно переписать как 2/((a+b)/ab)=2ab/(a+b). Очевидно, что при умножении этой дроби на (a+b)/2 получится ab, то есть произведение чисел. Значит, утром 2 сентября произведение чисел не изменилось, но рассуждая аналогично, мы получаем, что оно не изменится и в каждый следующий день. Значит, оно всегда будет равно 6*7=42.
