Известно, что A(x)=2,5(4−2x); B(x)=5,5−3,1(3−5x). Найдите значения переменной, которое удовлетворяет равенству, предварительно записав получающиеся уравнения:
A(x)=B(x)
2A(x)=B(x)
A(x)=B(x)+4,5
−4A(x)−2,1=−3B(x)

При n = 1 равенство примет вид 4 = 4, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1)= n(n+1)^2

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) = (n + 1)(n + 2)^2
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) = n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4) 

получим

n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4)  = (n + 1) (n (n + 1) + 3n + 4) = 
= (n + 1)(n^2 + n + 3n + 4) = (n + 1) (n^2 + 4n + 4) = 
= (n+ 1)(n + 2)^2 

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Интересная задачка.

Для того, чтобы начать решать эту задачу, нам необходимо найти такую последовательность, которая приносила бы нам всегда удачу! Из условия ясно, что начинающий должен ходить первый. Можно предложить такой вариант ходов: 
Начинающий должен взять один карандаш. Остается 17 штук. Какое бы количество карандашей ни взял противник, обязательно нужно оставить 13 карандашей на столе. По такому же раскладу, надо оставить 9 карандашей, а затем 5. Какое бы количество карандашей не взял соперник, начинающий всегда сможет оставить ему 1 карандаш.