Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.
На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее.
Простые числа-близнецы
Два простых числа, которые отличаются на 2, как
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа
3, 5, 7.
Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.
Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого Эратосфена числа n вычеркнуть так же число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа р, для которых число р + 2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:
3 и 5,
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
29 и 31,
41 и 43,
59 и 61,
71 и 73.
С парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в Таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.
Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:
все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1;при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:
11 и 13,
17 и 19,
29 и 1;
по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.
Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы
3756801695685 · 2666669 ± 1,
которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid. Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр.
Простые числа-триплеты
Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –
2, 3, 5 и 3, 5, 7.
Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел
Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.
На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее.
Простые числа-близнецыДва простых числа, которые отличаются на 2, как
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа
3, 5, 7.
Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.
Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого Эратосфена числа n вычеркнуть так же число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа р, для которых число р + 2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:
3 и 5,
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
29 и 31,
41 и 43,
59 и 61,
71 и 73.
С парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в Таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.
Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:
все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1;при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:11 и 13,
17 и 19,
29 и 1;
по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы
3756801695685 · 2666669 ± 1,
которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid. Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр.
Простые числа-триплетыЭто тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –
2, 3, 5 и 3, 5, 7.
Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел
p, p+2, p+6 или p, p+4, p+6
называется триплетом.
Простые числа-триплеты в пределах первой сотни:
5, 7, 11;
7, 11, 13;
11, 13, 17;
13, 17, 19;
17, 19, 23;
37, 41, 43;
41, 43, 47;
67, 71, 73.
1) а) 26х² - 30х + 9 б) 4р²+4с²- 4рс
2) а) 2а²+16 б) 2х²-х+9
3) а) 3х²+6ху+3у² б) 4с³-4с²+с
Объяснение:
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов.
1) а) х²+(5х-3)² = х²+(5х)² - 2·5х·3 + 3² = х²+25х² - 30х + 9 = 26х² - 30х + 9
б) (р-2с)²+3р² = р² -4рс +4с²+3р² = 4р²+4с²- 4рс
2) а) (а-4)² + a(а+8) = а²-8а+16+а²+8а = 2а²+16
б) х(х-7) + (х+3)² = х²-7х+х²+6х+9=2х²-х+9
3) а) 3(х+у)² = 3(х²+2ху+у²) = 3х²+6ху+3у²
б) с(2с-1)² = с(4с²-4с+1) = 4с³-4с²+с
ответы:
1) а) 26х² - 30х + 9 б) 4р²+4с²- 4рс
2) а) 2а²+16 б) 2х²-х+9
3) а) 3х²+6ху+3у² б) 4с³-4с²+с