Алгебра: Исследуйте функцию и постройте график y=(1/2)*x^2-(1/5)*x^5

Исследуйте функцию и постройте график y=(1/2)x^2-(1/5)x^5

Показать ответ

Ответ:

Reixerrr

26.07.2020 06:36

Исследуем заданную функцию $f(x)= \frac{1}{2} x^2- \frac{1}{5} x^5$
1. Область определения функции:
$D(f)=(-\infty;+\infty)$ - множество всех действительных чисел.
2. Четность функции
Функция $f:x\rightarrow R$ называется четной, если выполняется равенство:
f(-x)=f(x)

, а нечётной - f(-x)=-f(x)

$f(-x)= \frac{1}{2} (-x)^2- \frac{1}{5} (-x)^5=-(- \frac{1}{2} x^2- \frac{1}{5} x^5)\ne f(x)$
Итак, функция ни чётная ни нечётная.

3. Точки пересечения с осью Оу и Ох
3.1. С осью Ох (f(x)=0), тоесть
$0,5x^2-0.2x^5=0\\ x^2(0.5-0.2x^3)=0\\ x_1=0;\,\,\,\,x_2= \frac{ \sqrt[3]{20} }{2}$
$(0;0),\,( \frac{ \sqrt[3]{20} }{2} ;0)$ - точки пересечения с осью Ох
3.2. С осью Оу (х=0)
Если х=0, то f(x)=0
(0;0) - точки пересечения с осью Оу

4. Критические точки, возрастание и убывание функции. Локальный максимум и локальный минимум.
4.1. Найдем производную функции
f'(x)=(0.5x^2-0.2x^5)'=(0.5x^2)'-(0.2x^5)'=x-x^4

f'(x)=(0.5x^2-0.2x^5)'=(0.5x^2)'-(0.2x^5)'=x-x^4

Приравниваем производную функцию к нулю
$x-x^4=0;\,\,\Rightarrow\,\, x(1-x^3)=0\,\,\Rightarrow\,\,x_1=0\,\,\,and\,\,\,x_2=1$
____-__(0)____+____(1)___-_____
Функция возрастает на промежутке (0;1)

, а убывает на промежутке - $(-\infty;0)$ и $(1;+\infty)$ . В точке x=0

функция имеет локальный минимум, а в точке x=1

- локальный максимум
(0;0)

- относительный минимум, (1;0.3)

- относительный максимум

5. Точка перегиба.
5.1. Вторая производная функции:
f''(x)=(x-x^4)'=(x)'-(x^4)'=1-4x^3

Приравниваем ее к нулю
$1-4x^3=0;\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x= \frac{ \sqrt[3]{2} }{2}$
$f(\frac{ \sqrt[3]{2} }{2})=0.1125 \sqrt[3]{4}$ - точка перегиба

Горизонтальных, наклонных и вертикальных асимптот нет.

Исследуйте функцию и постройте график y=(1/2)*x^2-(1/5)*x^5