Исследовать кривую второго порядка и построить ее: 4ху+4х-4у+4=0

Объяснение:

Сначала выведем формулу У(х)

(4x - 4)*y = - 4*x

y = - 4*x/(4*(x-1) = - x/(x-1) - функция для анализа.

1. Область определения функции - ООФ.

Не допускается деление на 0 в знаменателе.

x  -1 ≠ 0.   x≠ 1

D(y) =  R\{1} = (-∞;1)∪(1;+∞) - ООФ.

2. Вертикальная асимптота - x = 1 -  разрыв II-го рода.  

3. Пересечение с осями координат.

С осью ОХ: числитель равен 0.   X0 = 0 - нуль функции.

С осью ОУ: y(0) = 0.

4. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: y(x)>0: X∈(0;1).

Отрицательна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).

5. Проверка на чётность.

y(-x) = х/(-x-1)  - функция общего вида.

6. Первая производная - поиск экстремумов.

y'(x) = -x/(x-1)² -1/(x-1) = 1/(x-1)² = 0

Корней нет. Разрыв при Х = 1.

7. Локальные экстремумы в точке разрыва..  

минимум:Ymin = lim{x-> 1-} . Ymin= -∞.

максимум:Ymax =  \lim{x-> 1+} y(x) = +∞

8. Интервалы монотонности.  

Производная положительная - функция возрастает во всем интервале существования..

Возрастает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).

9. Вторая производная - поиск точек перегиба.

y"(x) = - 2/(x-1)³ = 0

Корней нет.  

10. Поведение функции.

Выпуклая - "горка" - X∈(1;+∞).

Вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;1)

11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = lim (-1/(x-1) =  0 - наклона нет.

b = lim(+∞)Y(x) - 0*x = -x/(x-1) =  -1 - сдвиг по оси ОУ.

Горизонтальная асимптота: y = -1.

12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.