1.Область определения функции вся числовая прямая ( Множество действительных чисел 2.Область значения функции вся числовая прямая. Функция непрерывна на всей области определения функции. 3. Найдём промежутки монотонности и точки экстремума Для этого найдём производную Она равна 3х²-32х+69 Найдём стационарные точки 1/3(3х²-32х+69)=0 (3х²-32х+69)=0 Д=1024-828=196 х1=(32-14)/6=3 х2=(32+14)/6=46/6=7 2/3 3х²-32х+69=(х-3)(х-7 2/3)
+3-7 2/3+
Функция возрастает на промежутках (-∞; 3) и (7 2/3; +∞) Функция убывает на промежутке (3;7 2/3)
В точке х=3 производная меняет знак с "+" на "-" , значит при х=3 функция достигает максимального значения у=1/3*(3³-16*3²+69*3-54)=9-48+69-18=12 А (3;12) точка максимума В точке х=7 2/3=23/3 функция меняет знак с "-" на "+" значит в этой точке функция принимает минимальное значение
у=1/3((23/3)³-16*(23/3)²+69*23/3-54)=12167/81-8464/27+1587/9-54/3= 12167/81-25392/81+14283/81-1458/81=-337/81=-4 13/81 В(7 2/3 ; -4 13/81) точка минимума
Осталось построить график функции. Можно конечно найти ещё точки перегиба, но для школы это наверное не надо.
2.Область значения функции вся числовая прямая. Функция непрерывна на всей области определения функции.
3. Найдём промежутки монотонности и точки экстремума
Для этого найдём производную Она равна 3х²-32х+69
Найдём стационарные точки 1/3(3х²-32х+69)=0
(3х²-32х+69)=0
Д=1024-828=196
х1=(32-14)/6=3
х2=(32+14)/6=46/6=7 2/3
3х²-32х+69=(х-3)(х-7 2/3)
+3-7 2/3+
Функция возрастает на промежутках (-∞; 3) и (7 2/3; +∞)
Функция убывает на промежутке (3;7 2/3)
В точке х=3 производная меняет знак с "+" на "-" , значит при х=3 функция достигает максимального значения
у=1/3*(3³-16*3²+69*3-54)=9-48+69-18=12
А (3;12) точка максимума
В точке х=7 2/3=23/3 функция меняет знак с "-" на "+" значит в этой точке функция принимает минимальное значение
у=1/3((23/3)³-16*(23/3)²+69*23/3-54)=12167/81-8464/27+1587/9-54/3=
12167/81-25392/81+14283/81-1458/81=-337/81=-4 13/81
В(7 2/3 ; -4 13/81) точка минимума
Осталось построить график функции. Можно конечно найти ещё точки перегиба, но для школы это наверное не надо.