logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
efrakoff
efrakoff
06.08.2021 08:14 •  Алгебра

Интегрирование рациональных дробей.

Показать ответ
Ответ:
nkarakulina
nkarakulina
26.08.2020 10:47
Метод неопределённых коэффициентов

\displaystyle \int\limits { \frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} } \, dx =\int\limits { \frac{Ax+B}{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{C}{x-2} } \, dx \boxed{=}

*********************************************************
\dfrac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} = \dfrac{Ax+B}{x^2+1} + \dfrac{C}{x-2}

Приводя к общему знаменателю, получим
x^2=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)

Найдем коэффициенты A, B, C.
x^2\,:\, \, 2^2=0+C\cdot (2^2+1)\\ x^0\,:\, \,0=B\cdot (-2)+C\\ x^1\,:\, \,1=-A-B+2C

Решая систему уравнений, получим: \begin{cases}
 & \text{ } C= \,\,\,\,\dfrac{4}{5} \\ 
 & \text{ } B= \dfrac{2}{5} \\ 
 & \text{ } A=\,\,\,\,\dfrac{1}{5} 
\end{cases}
*******************************************************

\displaystyle \boxed{=} \int\limits { \frac{ \frac{1}{5}x+ \frac{2}{5} }{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{ \frac{4}{5} }{x-2} } \, dx = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{x+2}{x^2+1} } \, dx + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \, =\\ \\ \\ = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{xdx}{x^2+1} } \, + \frac{2}{5} \int\limits { \frac{dx}{x^2+1} } \, + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \,= \\ \\ \\ = \frac{1}{10}\ln (x^2+1)+ \frac{2}{5} arctg x+ \frac{4}{5} \ln|x-2|+C
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Happy0cake
Happy0cake
12.02.2020 17:34
Укажіть точку,яка належить графіку функції 3х+2...
Fatimochkaananas
Fatimochkaananas
15.01.2022 05:49
Докажите , что при любом целом n:решите...
Ласточка005
Ласточка005
26.02.2020 06:59
Замени k² одночленом так, чтобы получился квадрат выражения: k²+7x+64x²​...
5класс75
5класс75
21.10.2022 08:34
Объясните как лёгким путём решить это уравнение 7x+1,5=10x-3...
SocialКрип
SocialКрип
09.10.2020 08:48
Для функций y= -0,5x+3 найдите значение x,при котором значение y= -1...
nastafil30
nastafil30
16.06.2021 15:13
Решить системы уравнений 1)x+y=-5, xy=4 2)y/x+x/y=34/15, x²+y²=34...
artem55452
artem55452
06.03.2023 14:13
Решите уравнение (x-1,2)(x+3.4)(1+2x)=0...
настя7585
настя7585
06.03.2023 14:13
Подобные слагаемые 2m-3n-8m+6n расписанно...
Serzhantiko
Serzhantiko
24.12.2021 07:57
Запишите в порядке возрастания числа - 1,5, (-1,5) в 4 степени, (-1,5) в 5 степени....
женьшенье
женьшенье
24.12.2021 07:57
Выполните действие: 2a/a-b + 2a/a+b...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота