№64 докажите что при любом значении Х квадратный трехчлен : а.) х^2 -10x + 26 принимает положительное значение х^2 -10x + 26 = х^2 -10x + 25 +1 = (x-5)² +1 выражение (x-5)² положительное или равно 0 тогда (x-5)² +1 принимает только положительное значение ДОКАЗАНО б.) - x^2 + 4x -6 принимает отрицательное значение - x^2 + 4x -6 = - x^2 + 4x - 4 - 2 = - (x^2 - 4x +4) - 2 = - (x -2 )² - 2 выражение - (x-2)² отрицательное или равно 0 тогда - (x -2 )² - 2 принимает только отрицательное значение ДОКАЗАНО
Данное дифференциальное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка (ОДУ I) Здесь y' = dy/dx. Значит, (x^2+1)dy=(y^2+1)x dx | : (x^2+1) : (y^2+1) (комментарий: разделим оба части уравнения на x^2+1 и y^2+1) dy/(y^2+1) = x dx / (x^2+1) Проинтегрировав обе части уравнения, 1) dy/(y^2+1) = arctg y +C1(по таблице интегралов) 2) x dx / (x^2+1) = d(x^2+1) / (x^2+1) = 1/2 ln(x^2+1) +C2 получим arctg y + C1 = 1/2 ln(x^2 + 1) + C2 (Пусть C = C2-C1) arctg y = 1/2 ln(x^2 +1) + C - общий интеграл данного ОДУ (т.е. само решение)
а.) х^2 -10x + 26 принимает положительное значение
х^2 -10x + 26 = х^2 -10x + 25 +1 = (x-5)² +1
выражение (x-5)² положительное или равно 0
тогда (x-5)² +1 принимает только положительное значение
ДОКАЗАНО
б.) - x^2 + 4x -6 принимает отрицательное значение
- x^2 + 4x -6 = - x^2 + 4x - 4 - 2 = - (x^2 - 4x +4) - 2 = - (x -2 )² - 2
выражение - (x-2)² отрицательное или равно 0
тогда - (x -2 )² - 2 принимает только отрицательное значение
ДОКАЗАНО
Здесь y' = dy/dx. Значит,
(x^2+1)dy=(y^2+1)x dx | : (x^2+1) : (y^2+1) (комментарий: разделим оба части уравнения на x^2+1 и y^2+1)
dy/(y^2+1) = x dx / (x^2+1)
Проинтегрировав обе части уравнения,
1) dy/(y^2+1) = arctg y +C1(по таблице интегралов)
2) x dx / (x^2+1) = d(x^2+1) / (x^2+1) = 1/2 ln(x^2+1) +C2
получим
arctg y + C1 = 1/2 ln(x^2 + 1) + C2 (Пусть C = C2-C1)
arctg y = 1/2 ln(x^2 +1) + C - общий интеграл данного ОДУ (т.е. само решение)