Войти Регистрация Спроси ai-bota

F(x)=(x²-1)/(x²+1) найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума.

Показать ответ

Ответ:

Msскрытность

01.07.2020 01:12

$f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$

Определим производную функции по формуле: $f'\bigg(\dfrac{v}{u} \bigg) = \dfrac{v'u - u'v}{u^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{(x^{2} - 1)'(x^{2}+1) - (x^{2}+1)'(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} =\\\\= \dfrac{2x(x^{2}+1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{2x(x^{2}+1 - x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$

Определим критические точки, приравняв к нулю значение производной:

$\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}} = 0$

$D(f'(x)): (x^{2}+1)^{2}\neq 0; \ x \in \mathbb{R}$

$4x = 0; \ x = 0$

Определим промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (выбираем из каждого промежутка какое-нибудь число и подставляем его в производную, и проверяем её знак):

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \text{min} \ \ \ \ \ \ + \\------- \circ------ x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \nearrow$

Итак,

1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$

2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$

3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$

Для нахождения $y_{\text{min}}$ мы подставляем значение $x_{\text{min}}$ в значение функции.

1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$

2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$

3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

TINAdTINA

31.05.2023 16:25

а) б) в) д) выполнить действие2. построить график функции[tex]y = \frac{4}{x} [/tex]...

Дидог

06.10.2022 07:36

Функция задана формулой у=3х+1: 4, где-2...

kamil228337

22.02.2021 21:38

На малюнку зліва зображено куб, а на малюнку справа - його розгортку. намалюйте задану розгортку, вказавши на ній літери і у в правильному положенні...

mauzeriss

07.09.2020 14:52

Постройте график функции, заданной формулой y = 0,5x + 3. с графика найдите: а) значение y, если x = -4 б) значение х, если y = 6; в) координаты точек пересечения графика...

lionlioness

10.06.2020 20:45

Точки c(-17),d(19) и p(x) расположены на координатной прямой так, что cp=2pd. найдите: а) длину отрезка; б) расстояние между точками p и d; в) расстояние между точками...

mirapax1997ozb3lk

24.12.2022 09:04

1) -5x(x+6)=4(x-3)-10; 2) (x-8)(2x+3)=(3x-5)(x+4); 3) (x-3)(3x+9)=(x-8)(x+9); 4) (y-7)(7y+49)=(y+8)(y-7). я не ...

Мне0нужна0помощь

31.10.2020 09:11

2) 4x^2 – 9=0; 6) 6u^2 - u=0; решите уровнение 5 ...

filimo2000

27.05.2023 13:01

Нужно вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b....

vachevardanyan

04.02.2020 10:16

На рисунке изображен график линейной функции. какая из формул задает эту функцию? тест...

Данил2007Г

12.09.2020 16:19

Утрапеції abcd аb = cd, ∠bac = 20градусів, ∠сad = 50градусів. знайдіть кут асв...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку