F(x)=(х+3)(х+1) иследовать график функции по алгаритму_ 1 область определения 2. исследование функции на четность, нечетность и периодичность 3. нахождение точек пересечения графика функции с осями координат точки пересечения с осью ох: , где – решение уравнения . точки пересечения с осью оy: . 4. нахождение промежутков знакопостоянства функции 5. нахождение производной функции, области определения производной, критических точек 6. нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. если производная функции положительна на некотором промежутке i, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке i, то функция убывает на этом промежутке. если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума. 7. нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба. 8. исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и . если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота. при исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . для этого нужно вычислить следующие пределы: и . если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при . частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. аналогично ищется наклонная асимптота при . 9. построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)
(х+3)(х+1) = х²+3х+х+3 = х²+4х+3 - это уравнение параболы.
Результаты исследования графика функции
Область определения функции. ОДЗ: -00<x<+00
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x^2+4*x+3.
Результат: y=3. Точка: (0, 3)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:x^2+4*x+3 = 0 Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
x=-3.0. Точка: (-3.0, 0) x=-1.0. Точка: (-1.0, 0)
Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=2*x + 4=0 (Производную находим , a уравнение решаем )
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=-2.0. Точка: (-2.0, -1.0)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:-2.0 Максимумов у функции нету
Возрастает на промежутках: [-2.0, oo) Убывает на промежутках: (-oo, -2.0]
Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=2=0 - нет перегибов.
Вертикальные асимптоты Нету Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim x^2+4*x+3, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существует lim x^2+4*x+3, x->-oo = oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существует Наклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim x^2+4*x+3/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim x^2+4*x+3/x, x->-oo = -oo, значит наклонной асимптоты слева не существует
Четность и нечетность функции:Проверим функцию четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:x^2+4*x+3 = x^2 - 4*x + 3 - Нет x^2+4*x+3 = -(x^2 - 4*x + 3) - Нет - значит, функция не является ни четной ни нечетной