Если положить три карточки с числами в синий ящик, то он на двух карточках уменьшит число на 1, а на одной - увеличит на 2. Например, если положить в синий ящик числа (5, 6, 10), то можно достать (4, 5, 12) или (4, 8, 9). Можно ли, имея изначально числа (13, 15, 17), достать когда-то из синего ящика три карточки, на двух из которых будут нули?
f(x) = ( x - 5 ) / ( x² + x - 6 )
Знаменатель дроби не может равняться нулю, значит для любого числа из области определения данной функции должно выполняться условие:
x² + x - 6 ≠ 0
Решим соответствующее квадратное уравнение и узнаем, при каких значениях x, знаменатель дроби равен нулю:
x² + x - 6 = 0
D = 1 + 24 = 25
x₁ = ( - 1 - 5 ) / 2 = - 6 / 2 = - 3
x₂ = (- 1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2
Корни этого уравнения нам говорят о том, что эти числа не подходят к условие, так как при таких значениях x знаменатель принимает значение 0, а значит они не входят в область определения функции.
Область определения функции - все числа кроме - 3 и 2.
Математически это записывается так:
x ∈ ( - ∞ ; - 3 ) ∪ ( - 3 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ).
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.
Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.