Две окружности имеют общую точку a и проходят через центры o 1 ​ и o 2 ​ друг друга. в первой окружности провели диаметр ab , а продолжение отрезка bo 2 ​ пересекает вторую окружность в точке c . найдите угол bac . ответ дайте в градусах.

Исследовать функцию f (x) = 11x/(16+x²) и построить ее график.

1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Функция f (x) = 11x/(16+x²) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –11x(16+x²) ≠ f(x) 

 f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –(11x(16+x²)) = –f(x)

Функция является четной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0, 11x/(16+x²) = 0 ⇒ x=0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Находим производную заданной функции.
f′(x)=(11⋅x/(16+x²))′=((11⋅x)′⋅(16+x²)−11⋅x⋅(16+x²)′)/(16+x²)²=(11⋅(16+x²)−11⋅x⋅(x²)′)(16+x²)²=((11⋅(16+x²)−22⋅x⋅x)/(16+x²)².
ответ:f′(x)=(11⋅(16+x²)−22⋅x²)(16+x²)² = (11(16-x²))/(16+x²)².
Приравниваем её нулю (достаточно числитель):
11(16-х²) = 0, 16 = х², х = +-4.

 x = 4, x = -4  критические точки.

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке:
x_{2} = -4
Максимум функции в точке: x_{2} = 4.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Возрастает на промежутках [-4, 4]
Убывает на промежутках (-oo, -4] U [4, oo)

6. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 
Вторая производная
\frac{22 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x_{1} = 0
x_{2} = - 4 \sqrt{3}
x_{3} = 4 \sqrt{3}

7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-4*sqrt(3), 0] U [4*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -4*sqrt(3)] U [0, 4*sqrt(3)]

8. Искомый график функции дан в приложении.

Заметим, что в системе х встречается только во второй степени. Поэтому, если некоторая пара (х; у) - решение системы, то и пара (-х; у) - решение системы. Так как по заданию система должна иметь только одно решение, то необходимо выполнение условия х=-х. Это достигается только при х=0.
Подставляя значение х=0 в систему, получим:

Проверим, удовлетворяют ли значения р=1 и р=-1 условию.
При р=1:


Данный случай не подходит, так как система имеет три решения.
При р=-1:


Данный случай подходит, система действительно имеет одно решение.
Кроме того, можно было построить графики уравнений:
- окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1
- стандартная парабола ветвями вниз с вершиной в точке
(0; р). Двигая эту параболу вдоль оси ординат, можно убедиться, что единственное пересечение с окружностью происходит лишь при р=-1.
ответ: р=-1