). Доведіть, що вираз х² + 8х + 19 набуває лише додатних значень при всіх значеннях змінної х. Якого найменшо-
го значення набуває цей вираз і при якому значенні х?​

1. a) |x - 1| + 2|x - 3| = 5 - x
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x, |x - 3| = 3 - x
1 - x + 2(3 - x) = 5 - x
1 - x + 6 - 2x = 5 - x
1 + 6 - 5 = x + 2x - x
2x = 2; x = 1 - не подходит, потому что x < 1
Если x ∈ [1; 3), то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = 3 - x
x - 1 + 2(3 - x) = 5 - x
x - 1 + 6 - 2x = 5 - x
5 - x = 5 - x
Это верно при любом x ∈ [1; 3)
Если x >= 3, то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = x - 3
x - 1 + 2(x - 3) = 5 - x
x - 1 + 2x - 6 = 5 - x
3x + x = 5 + 6 + 1
4x = 12
x = 3
ответ: x ∈ [1; 3]

b) |x - 1| = x^3 - 3x^2 + x + 1
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x
1 - x = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2x
x(x - 1)(x - 2) = 0
x1 = 0 < 1 - подходит
x2 = 1; x3 = 2 > 1 - оба не подходят.
Если x >= 1, то |x - 1| = x - 1
x - 1 = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2
x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x - 2x + 2 = 0
(x - 1)(x^2 -2x - 2) = 0
x1 = 1 - подходит.
x^2 - 2x - 2 = 0
D = 2^2 - 4*(-2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)^2
x2 = (2 - 2√3)/2 = 1 - √3 < 1 - не подходит
x3 = (2 + 2√3)/2 = 1 + √2 > 1 - подходит
ответ: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1 + √2

2. (|x - 3|) / (|x - 2| - 1) >= 1
Если x < 2, то |x - 2| = 2 - x; |x - 3| = 3 - x
(3 - x) / (2 - x - 1) >= 1
(3 - x) / (1 - x) = (x - 3) / (x - 1) >= 1
(x - 3 - x + 1) / (x - 1) = (-2) / (x - 1) >= 0
x - 1 < 0; x < 1 - это решение
Если x ∈ [2; 3), то |x - 2| = x - 2; |x - 3| = 3 - x
(3 - x) / (x - 2 - 1) = (3 - x) / (x - 3) = -1 >= 1 - неверно
x ∈ ∅
Если x >= 3, то |x - 2| = x - 2; |x - 3| = x - 3
(x - 3) / (x - 2 - 1) = (x - 3) / (x - 3) = 1 - это верно при любом x ≠ 3
x > 3 - это решение.
ответ: x ∈ (-oo; 1) U (3; +oo)

(а) кг апельсинов было продано в апреле,
тогда яблок было продано (180-а) кг.
в мае было продано (180-а)*1.3 ---на 30% больше,
апельсинов а*0.85 ---на 15% меньше, т.е. 100%-15%=85%
(180-а)*1.3 + 0.85а = 180 ---общая масса не изменилась
234 - 1.3а + 0.85а = 180
0.45а = 54
а = 54 / 0.45
а = 120 (кг) апельсинов было продано в апреле
180-120 = 60 кг яблок было продано в апреле
ПРОВЕРКА:
в мае апельсинов было продано: 120*0.85 = 102 кг
в мае яблок было продано:
60 + 60*30/100 = 60*(1+0.3) = 60*1.3 = 78 кг
102+78 = 180 кг ---общая масса проданных фруктов осталось той же))