Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Следовательно, достаточно найти уравнения двух любых высот треугольника и точку их пересечения, решив систему двух уравнений.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Значит надо найти уравнение стороны треугольника и уравнение прямой, проходящей через противоположную вершину, перпендикулярно этой стороне.
Уравнение прямой АВ найдем по формуле:
(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya). Или
(X+4)/2=(Y-0)/-2 - каноническое уравнение =>
y=-x-2 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-1.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1=1.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АВ из вершины С
найдем по формуле:
Y-Yс=k1(X-Xс) или Y-2=X-2 =>
y=х (1) - это уравнение перпендикуляра СС1.
Уравнение прямой АС:
(X-Xa)/(Xс-Xa)=(Y-Ya)/(Yс-Yа). Или
(X+4)/6=(Y-0)/2 - каноническое уравнение =>
y=(1/3)x+4/3 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=1/3.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1 = -3.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АС из вершины В
Y-Yb=k1(X-Xb) или Y+2=-3(X+2) =>
y=-3х-8 (2)- это уравнение перпендикуляра BB1.
Точка пересечения перпендикуляров имеет координаты:
х=-3х - 8 (подставили (1) в (2)) => х = -2.
Тогда y = -2.
ответ: точка пересечения высот совпадает с вершиной В(-2;-2)
треугольника, то есть треугольник прямоугольный с <B=90°.
Для проверки найдем длины сторон треугольника:
АВ=√(((-2-(-4))²+(-2)²) = 2√2.
ВС=√(((2-(-2))²+(2-(-2))²) = 4√2.
АС=√(((2-(-4))²+2²) = 2√10.
АВ²+ВС² = 40; АС² = 40.
По Пифагору АВ²+ВС² = АС² - треугольник прямоугольный.
Объяснение:
В решении.
Разложить квадратный трёхчлен на множители:
1) а² - 12а + 24 = 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение.
D=b²-4ac =144 - 96 = 48 √D=48 = √16*3 = 4√3;
а₁=(-b-√D)/2a
а₁=(12-4√3)/2
а₁=6 - 2√3;
а₂=(-b+√D)/2a
а₂=(12+4√3)/2
а₂=6 + 2√3.
Разложение:
а² - 12а + 24 = (а - (6 - 2√3))(а - (6 + 2√3)) = (а - 6 + 2√3)*(а - 6 - 2√3).
2) -b² + 16b - 15 = 0
-b² + 16b - 15 = 0/-1
b² - 16b + 15 = 0
D=b²-4ac =256 - 60 = 196 √D=14
b₁=(-b-√D)/2a
b₁=(16-14)/2
b₁=2/2
b₁=1;
b₂=(-b+√D)/2a
b₂=(16+14)/2
b₂=30/2
b₂=15.
-b² + 16b - 15 = -(b - 1)(b - 15).
3) -z² - 8z + 9 = 0
-z² - 8z + 9 = 0/-1
z² + 8z - 9 = 0
D=b²-4ac =64 + 36 = 100 √D=10
z₁=(-b-√D)/2a
z₁=(-8-10)/2
z₁= -18/2
z₁= -9;
z₂=(-b+√D)/2a
z₂=(-8+10)/2
z₂=2/2
z₂=1.
-z² - 8z + 9 = -(z + 9)*(z - 1).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Следовательно, достаточно найти уравнения двух любых высот треугольника и точку их пересечения, решив систему двух уравнений.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Значит надо найти уравнение стороны треугольника и уравнение прямой, проходящей через противоположную вершину, перпендикулярно этой стороне.
Уравнение прямой АВ найдем по формуле:
(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya). Или
(X+4)/2=(Y-0)/-2 - каноническое уравнение =>
y=-x-2 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-1.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1=1.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АВ из вершины С
найдем по формуле:
Y-Yс=k1(X-Xс) или Y-2=X-2 =>
y=х (1) - это уравнение перпендикуляра СС1.
Уравнение прямой АС:
(X-Xa)/(Xс-Xa)=(Y-Ya)/(Yс-Yа). Или
(X+4)/6=(Y-0)/2 - каноническое уравнение =>
y=(1/3)x+4/3 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=1/3.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1 = -3.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АС из вершины В
найдем по формуле:
Y-Yb=k1(X-Xb) или Y+2=-3(X+2) =>
y=-3х-8 (2)- это уравнение перпендикуляра BB1.
Точка пересечения перпендикуляров имеет координаты:
х=-3х - 8 (подставили (1) в (2)) => х = -2.
Тогда y = -2.
ответ: точка пересечения высот совпадает с вершиной В(-2;-2)
треугольника, то есть треугольник прямоугольный с <B=90°.
Для проверки найдем длины сторон треугольника:
АВ=√(((-2-(-4))²+(-2)²) = 2√2.
ВС=√(((2-(-2))²+(2-(-2))²) = 4√2.
АС=√(((2-(-4))²+2²) = 2√10.
АВ²+ВС² = 40; АС² = 40.
По Пифагору АВ²+ВС² = АС² - треугольник прямоугольный.
Объяснение:
В решении.
Объяснение:
Разложить квадратный трёхчлен на множители:
1) а² - 12а + 24 = 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение.
D=b²-4ac =144 - 96 = 48 √D=48 = √16*3 = 4√3;
а₁=(-b-√D)/2a
а₁=(12-4√3)/2
а₁=6 - 2√3;
а₂=(-b+√D)/2a
а₂=(12+4√3)/2
а₂=6 + 2√3.
Разложение:
а² - 12а + 24 = (а - (6 - 2√3))(а - (6 + 2√3)) = (а - 6 + 2√3)*(а - 6 - 2√3).
2) -b² + 16b - 15 = 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение.
-b² + 16b - 15 = 0/-1
b² - 16b + 15 = 0
D=b²-4ac =256 - 60 = 196 √D=14
b₁=(-b-√D)/2a
b₁=(16-14)/2
b₁=2/2
b₁=1;
b₂=(-b+√D)/2a
b₂=(16+14)/2
b₂=30/2
b₂=15.
Разложение:
-b² + 16b - 15 = -(b - 1)(b - 15).
3) -z² - 8z + 9 = 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение.
-z² - 8z + 9 = 0/-1
z² + 8z - 9 = 0
D=b²-4ac =64 + 36 = 100 √D=10
z₁=(-b-√D)/2a
z₁=(-8-10)/2
z₁= -18/2
z₁= -9;
z₂=(-b+√D)/2a
z₂=(-8+10)/2
z₂=2/2
z₂=1.
Разложение:
-z² - 8z + 9 = -(z + 9)*(z - 1).