Докажите, что при любом натуральном n выполняется: a) 7n-5n⋮24, b) 5n-3n⋮16
2. Докажите, что при любом натуральном n выполняется:
a) 7n+3 (n+1) делится на 4, b) 9n+4(n+1) делится на 5
Средний уровень
Докажите, что при любом натуральном n выполняется:
a) 7∙52n+12∙6n делится на19, b) 62n+3(n+2)+3n делится на 11
Заметим, что![x^{3}=3+[x]](/tpl/images/1164/1538/40715.png)
, то есть 
— целое число. Это означает, что ![x=\sqrt[3]{m},\; m\in\mathbb{Z}](/tpl/images/1164/1538/11b9e.png)
, где 
; Имеем: ![m=3+[\sqrt[3]{m}]](/tpl/images/1164/1538/2e8de.png)
; Теперь надо отметить, что число 
лежит между двумя кубами: 
и 
; Пусть 
. Тогда ![[\sqrt[3]{m}]=n](/tpl/images/1164/1538/dff55.png)
; Но 
, тогда 
. Решим это неравенство:
Докажем, что для
решений нет. Действительно, касательная к 
в точке 
имеет вид 
; Более того, для 
выпукла вниз (
); Значит, для 
; Осталось проверить значение 1, которое подходит.
Значит,
и ![x=\sqrt[3]{4}](/tpl/images/1164/1538/c0cd9.png)
; Если 
, то аналогично ![n=[\sqrt[3]{m} ]](/tpl/images/1164/1538/2984a.png)
и неравенство уже справедливо для всех 
; Но 
поэтому 
, что не имеет решений при отриц. 
. Здесь аналогично. Рассмотрим касательную в точке 
; Тогда она имеет вид: 
; По выпуклости вверх на интервале 
можно записать неравенство для 
: 
; Тем самым, остается проверить значения 
и 
. Они не подходят, откуда заключаем, что решение единственно.
ответ:![x=\sqrt[3]{4}](/tpl/images/1164/1538/c0cd9.png)
3)4(1 - 5x) = 9 - 3(6x - 5)
4 - 20x = 9 - 18x - 15
-20x + 18x = 9 - 4 - 15
-2x = -10
x = -10 : (-2)
x = 5
4)Дано:
Всего: 100 деталей
1 бригада: ? на 5 деталей < чем 2 бригада
2 бригада: ?
3 бригада: ? на 15 деталей < чем 2 бригада
Пусть: x это 2 бригада; тогда 1 бригада это
x - 5 , а 3 бригада x - 15
x + x - 5 + x - 15 = 100
3x - 20 = 100
3x = 120
x = 40
1 бригада = x - 5 = 40 - 5 = 35 деталей
2 бригада = x = 40 деталей
3 бригада = x - 15 = 40 - 15 = 25 деталей
ответ: 35; 40; 25.
Прости за отсутствие первых двух номеров я не помню как их решать