Докажите, что: а) если функция монотонна на положительной части области определения, то она имеете противположный характер монотонности на отрицательно части области определения; б)если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то оан имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определиния.
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
Если на области определения уравнения f(x) = g(x) функция f(x) возрастает (убывает), а функция g(x) убывает (возрастает), то тогда уравнение не может иметь более одного корня.
Можно сказать конкретнее и понятнее.
Если функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает), а функция y = g(x) монотонно убывает (возрастает) на некотором промежутке и х – корень уравнения f(x) = g(x), то он единственный на этом промежутке.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение.
Область определения уравнения - все положительные числа ( ).
Кстати, для учеников существует проблема в применении понятий область определения уравнения и область допустимых значений (ОДЗ) переменной х.
Аббревиатура ОДЗ приобрела самостоятельную жизнь и применяют ее, не понимая сути, иногда путая с допустимыми значениями функции. Любое уравнение можно привести к виду f(x) = 0 и считать уравнением частный случай функции у = f(x), когда она равна нулю. Область определения этой функции или допустимые значения переменной х - и есть область определения уравнения или область допустимых значений неизвестной переменной в этом уравнении.
Очевидно, что - корень уравнения.
Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.
Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.
Следовательно, корень уравнения - единственный.
ответ: 2.
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение.
Область определения уравнения: .
Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.
Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.
Определить, есть ли у этого уравнения корень, попробуем графически.
Построим графики функций в одной системе координат. Из построенного графика видно, что функции пересекаются в точке .
Проверим, является ли число 1,5 корнем данного уравнения.
ответ: 1,5.
Пример 3. Решить уравнение: .
Решение.
Область определения уравнения: .
Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.
Координаты вершины параболы .
Квадратичная функция на области определения уравнения:
а) монотонно убывает при . Значения функции изменяются при этом на промежутке .
Значения функции
при меняются следующим образом: .
Уравнение на этом промежутке корней не имеет.
б) монотонно возрастает при . Очевидно, что
Значит х = 4 – единственный корень данного уравнения.
ответ: 4.
Когда доказано, что функция в левой части уравнения монотонно возрастает (убывает), а в правой части - монотонно убывает (возрастает), то единственный корень уравнения, если он имеется, находят любым доступным