Длина прямоугольника на 8 см больше ширины. Если ширину увеличить в 2 раза, а длину уменьшить на 4 см, то площадь прямо-
угольника увеличится на 25 см*. Найдите стороны прямоуголь-
ника.
​

х∈(-∞, -5)∪(-5, +∞)

Объяснение:

Построить график x²+10x+25>0

График - парабола, ветви направлены вверх.

Чтобы найти точки пересечения параболы с осью Ох, нужно решить квадратное уравнение:

x²+10x+25=0

х₁,₂=(-10±√100-100)/2

х₁,₂=(-10±0)/2

х= -10/2

х= -5

Из решения уравнения видно, что парабола не пересекает ось Ох в двух точках, как обычно, а "стоит" на оси Ох и имеет одну точку соприкосновения, х= -5. Это вершина параболы, её координаты (-5; 0).

Построить график. Таблица:

х   -9     -8     -7    -6     -5    -4     -3    -2     -1

у    16     9      4      1      0      1      4     9      16

Посмотрим на график Ясно видно, что у>0 (как в неравенстве) влево и вправо от точки х= -5.

х∈(-∞, -5)∪(-5, +∞), то есть, решения неравенства находятся при х от - бесконечности до -5 и от -5 до + бесконечности.

Неравенство строгое, скобки круглые.

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.