Диктант по теме: «Логарифмическая функция» Записать номера верных утверждений через запятую
1 Логарифмическая функция у = logax определена при любом х
2 Функция у = logax определена при а > 0, а =/= 1, х > 0
3 Областью определения логарифмической функции является
множество действительных чисел.
4 Областью значений логарифмической функции является множество
действительных чисел.
5 Логарифмическая функция – четная.
6 Логарифмическая функция – нечетная.
7 Функция у = logax – возрастающая при а >1.
8 Функция у = logax при положительном, но меньшем единицы
основании, – возрастающая.
9 Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).
10 График функции у = logax пересекается с осью ОХ.
11 График логарифмической функции находится в верхней
полуплоскости.
12 График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.
13 График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).
14 График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.
15 Существует логарифм отрицательного числа.
16 Существует логарифм дробного положительного числа.
17 График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).
Диктант по теме: «Показательная функция»
Записать номера верных утверждений через запятую
1 Показательная функция у = ах определена при любом х
2 Функция у = а х определена при а > 0, а =/= 1, х > 0
3 Областью определения показательной функции является множество
действительных чисел.
4 Областью значений показательной функции является множество
действительных чисел.
5 Показательная функция – четная.
6 Показательная функция – нечетная.
7 Показательная функция – ни четная ни нечетная
8 Функция у = а х – возрастающая при а >1.
9 Функция у =а х при положительном, но меньшем единицы основании,
– возрастающая.
10 Показательная функция имеет экстремум в точке (0; 1).
11 График функции у =а х пересекается с осью ОХ.
12 График показательной функции находится в верхней
полуплоскости.
13 График показательной функции симметричен относительно ОХ.
14 График показательной функции пересекает ОУ в точке (0; 1).
15 График показательной функции находится в 1 и 4 четвертях.
16 График показательной функции проходит через начало координат
Для того, чтобы решить уравнение х^4 - 5x^2 + 4 = 0, произведем замену:
t = x^2, получим квадратное уравнение:
t^2 - 5t + 4 = 0;
Ищем дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (- 5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9;
t1 = (-b + √D) / 2a = ( 5 + √9) / 2 * 1 = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4;
t2 = (-b - √D) / 2a = ( 5 - √9) / 2 * 1 = (5 - 3)/2 = 2/2 = 1;
Возвращаемся к нашей замене и получаем два уравнения, которые нужно решить:
х^2 = 4 и x^2 = 1.
Из первого и второго уравнения получаем по два корня х1 = 2 и х2 = -2, а из второго х3 = 1 и х4 = -1.
ответ: х1 = 2; х2 = -2; х3 = 1; х4 = -1.
Пояснение:
Выражения такого типа, когда в знаменателе сумма или разность числа и числа под корнем, избавляются от иррациональности простым методом. Вспоминаем формулу сокращенного умножения, разность квадратов:
Важно отметить, что нужно умножить наше выражение не просто на
, а на
, потому что
, а при умножении на 1 значение выражения не измениться. Если умножить просто на
значение выражения поменяется.
Вот, собственно, и всё правило.
Ещё, после второго действия, второго =, была использована формула сокращённого умножения — разность кубов: