Пусть х км/ч - собственная скорость теплохода, тогда (х + 4) км/ч - скорость теплохода по течению реки, (х - 4) км/ч - скорость теплохода против течения реки. На путь туда и обратно теплоход затратил 5 часов. Уравнение:
48/(х+4) + 48/(х-4) = 5
48 · (х - 4) + 48 · (х + 4) = 5 · (х + 4) · (х - 4)
48х - 192 + 48х + 192 = 5 · (х² - 16)
96х = 5х² - 80
5х² - 96х - 80 = 0
D = b² - 4ac = (-96)² - 4 · 5 · (-80) = 9216 + 1600 = 10816
√D = √10816 = 104
х₁ = (96-104)/(2·5) = (-8)/10 = - 0,8 - не походит
х₂ = (96+104)/(2·5) = 200/10 = 20
ответ: 20 км/ч.
Проверка:
1) 48 : (20 + 4) = 48 : 24 = 2 (ч) - путь по течению;
2) 48 : (20 - 4) = 48 : 16 = 3 (ч) - путь против течения;
3) 2 + 3 = 5 (ч) - время всего пути.
1) (x + 2)(x² - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42 =
х³ - 2х + 4х + 2х² - 4х + 8 - х³ - 3х² + 3х² + 9х - 42 =
х³ - х³ + 2х² - 3х² + 3х² - 2х + 4х - 4х + 9х + 8 - 42 =
2х² + 7х - 34
2) (x - 3)(x² + 3x + 9) - x(x²- 16) + 21=
х³ + 3х² + 9х - 3х² - 9х - 27 - х³ + 16х + 21 =
х³ - х³ + 3х² - 3х² + 9х - 9х + 16х - 27 + 21 =
16х - 6
3) (2x - 1)(4x² + 2x + 1)-23 - 4x(2x² + 3) =
8х³ + 4х² + 2х - 4х² - 2х - 1 - 23 - 8х³ - 12х =
8х³ - 8х³ + 4х² - 4х² + 2х - 2х - 12х - 1 - 23 =
-12х - 24
4) 16x(4x² - 5) + 17 - (4x + 1)(16x² - 4x + 1) =
64х³ - 80х + 17 - 64х³ - (16х + 4х + 16х² - 4х + 1) =
64х³ - 80х + 17 - 64х³ - 16х - 4х - 16х² + 4х - 1 =
64х³ - 64х³ - 16х² - 80х - 16х - 4х + 4х + 17 - 1 =
- 16х² - 96х + 16
+2023=
Делимость на 3 и на 9. 2) Решить в целых числах уравнение 
Пусть х км/ч - собственная скорость теплохода, тогда (х + 4) км/ч - скорость теплохода по течению реки, (х - 4) км/ч - скорость теплохода против течения реки. На путь туда и обратно теплоход затратил 5 часов. Уравнение:
48/(х+4) + 48/(х-4) = 5
48 · (х - 4) + 48 · (х + 4) = 5 · (х + 4) · (х - 4)
48х - 192 + 48х + 192 = 5 · (х² - 16)
96х = 5х² - 80
5х² - 96х - 80 = 0
D = b² - 4ac = (-96)² - 4 · 5 · (-80) = 9216 + 1600 = 10816
√D = √10816 = 104
х₁ = (96-104)/(2·5) = (-8)/10 = - 0,8 - не походит
х₂ = (96+104)/(2·5) = 200/10 = 20
ответ: 20 км/ч.
Проверка:
1) 48 : (20 + 4) = 48 : 24 = 2 (ч) - путь по течению;
2) 48 : (20 - 4) = 48 : 16 = 3 (ч) - путь против течения;
3) 2 + 3 = 5 (ч) - время всего пути.
1) (x + 2)(x² - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42 =
х³ - 2х + 4х + 2х² - 4х + 8 - х³ - 3х² + 3х² + 9х - 42 =
х³ - х³ + 2х² - 3х² + 3х² - 2х + 4х - 4х + 9х + 8 - 42 =
2х² + 7х - 34
2) (x - 3)(x² + 3x + 9) - x(x²- 16) + 21=
х³ + 3х² + 9х - 3х² - 9х - 27 - х³ + 16х + 21 =
х³ - х³ + 3х² - 3х² + 9х - 9х + 16х - 27 + 21 =
16х - 6
3) (2x - 1)(4x² + 2x + 1)-23 - 4x(2x² + 3) =
8х³ + 4х² + 2х - 4х² - 2х - 1 - 23 - 8х³ - 12х =
8х³ - 8х³ + 4х² - 4х² + 2х - 2х - 12х - 1 - 23 =
-12х - 24
4) 16x(4x² - 5) + 17 - (4x + 1)(16x² - 4x + 1) =
64х³ - 80х + 17 - 64х³ - (16х + 4х + 16х² - 4х + 1) =
64х³ - 80х + 17 - 64х³ - 16х - 4х - 16х² + 4х - 1 =
64х³ - 64х³ - 16х² - 80х - 16х - 4х + 4х + 17 - 1 =
- 16х² - 96х + 16