Длина спуска и подъёма одинакова и равна S км. Тогда длина всей дороги со спуском и подъёмом равна 2S км . Длина ровной дороги в 1,5 раза длиннее, чем 2S, то есть равна 1,5·2S=3S км . Скорость девочки по ровной дороге равна V₁=х км/час. Тогда время, затраченное на прохождение ровной дороги равно t₁=3S/x =3·(S/x)(час). Скорость девочки на спуске в 2 раза больше, чем по ровной дороге, то есть равна V₂=2x (км/час). Время, за которое девочка спустится, равно t₂=S/V₂=S/2x (час) . Скорость девочки на подъёме в 1,5 раза меньше, чем по ровной дороге, то есть равна V₃=x/1,5=2x/3 (км/час) . Время, за которое девочка совершит подъём, равно t₃=S/V₃=S/(2x/3)=3S/2x=3·(S/2x) (час) Время спуска и подъёма равно t₂+t₃=S/2x+3(S/2x)=4(S/2x)=2(S/x) (час) Сравним это с t₁=3(S/x) . Время, затраченное на прохождение ровной дороги, больше в t₁/(t₂+t₃)=3/2=1,5 раза. Время ,затраченное на прохождение дороги со спуском и подъёмом, меньше в (t₂+t₃)/t₁=2/3 раза.
Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное. а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным. (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 = 2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа. Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа: n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом? (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n Не может.
Цельная и стройная запись решения: n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2 Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
Длина ровной дороги в 1,5 раза длиннее, чем 2S, то есть равна
1,5·2S=3S км .
Скорость девочки по ровной дороге равна V₁=х км/час.
Тогда время, затраченное на прохождение ровной дороги равно
t₁=3S/x =3·(S/x)(час).
Скорость девочки на спуске в 2 раза больше, чем по ровной дороге, то есть равна V₂=2x (км/час).
Время, за которое девочка спустится, равно t₂=S/V₂=S/2x (час) .
Скорость девочки на подъёме в 1,5 раза меньше, чем по ровной дороге, то есть равна V₃=x/1,5=2x/3 (км/час) .
Время, за которое девочка совершит подъём, равно
t₃=S/V₃=S/(2x/3)=3S/2x=3·(S/2x) (час)
Время спуска и подъёма равно
t₂+t₃=S/2x+3(S/2x)=4(S/2x)=2(S/x) (час)
Сравним это с t₁=3(S/x) .
Время, затраченное на прохождение ровной дороги,
больше в t₁/(t₂+t₃)=3/2=1,5 раза.
Время ,затраченное на прохождение дороги со спуском и подъёмом,
меньше в (t₂+t₃)/t₁=2/3 раза.
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.
Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.