Дан выпуклый девятиугольник A1A2...A9 . Сколько общих точек с прямой A3A8 имеет отрезок A2A4?

а) 3 прямые имеют наибольшее число точек пересечения 3 ,

б) 4 прямые - 6 точек пересечения ,

в) 5 прямых - 10 точек пересечения ,

г) n прямых - \frac{n(n-1)}{2}

2

n(n−1)

точек пересечения .

Решение. Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае количество точек попарных пересечений равно количеству пар прямых из данного множества n прямых. Как мы знаем, это число равно \frac{n(n-1)}{2}

2

n(n−1)

общего вида                                                                                                                                      .                                                                  .                                                                                                                                                                       .                                                                    .                                                                        .                                                                     .                                                                  .                                                                  .