Дан график функции. a) Запишите область определения функции.
b) Найдите множество значений функции.
c) Определите промежутки знакопостоянства
функции.
d) Определите максимальное значение функции
на области определения.
e) Определите четность функции.

Объяснение:

z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2), при условии 1/x^4 + 1/y^4 = 2

Выразим y через x

1/y^4 = 2 - 1/x^4 = (2x^4 - 1)/x^4

1/(2y^2) = √(2x^4 - 1)/(2x^2)

Область определения: x ≠ 0; y ≠ 0; x^4 > 1/2; |x| > 1/(кор. 4 ст. из 2) ≈ 0,84

В функцию z входит 1/(2y^2), поэтому я так и написал.

z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2x^2) + √(2x^4 - 1)/(2x^2) = (√(2x^4 - 1) + 1) / (2x^2)

Теперь находим производную функции уже одной переменной.

z ' = [8x^3/(2√(2x^4 - 1))*2x^2 - 4x(√(2x^4 - 1) + 1) ] / (4x^4) =

= [2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1] / x^3

В точке экстремума производная, то есть ее числитель, равна 0.

2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1 = 0

(2x^4 - (2x^4 - 1)) / √(2x^4 - 1) = 1

1/√(2x^4 - 1) = 1

√(2x^4 - 1) = 1

2x^4 - 1 = 1

2x^4 = 2

x^4 = 1

x1 = -1; x2 = 1;

y^4 = x^4/(2x^4 - 1) = 1/(2-1) = 1; y1 = -1; y2 = 1.

z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2*1) + 1/(2*1) = 1

Критические точки: (-1; -1; 1); (-1; 1; 1); (1; -1; 1); (1; 1; 1).

При x = -2 < -1 будет

z ' = (2*16/√15 - √15 - 1) / (-8) ≈ 3,4/(-8) < 0

Функция падает.

При x = -0,9 € (-1; -1/(кор. 4 ст из 2) ) будет

z ' = (2*0,9^4/√(2*0,9^4-1) - √(2*0,9^4-1) - 1) / (-0,9)^3 =

= (1,3122/√0,3122 - √0,3122 - 1) / (-0,729) ≈ 0,8/(-0,73) < 0

Функция падает.

При x < -1 функция падает и при x > -1 функция тоже падает.

Значит, x = -1 - это критическая точка, но не экстремум.

Тоже самое с x = 1.

При x € (1/кор. 4 ст из 2); 1) функция растет, и при x > 1 функция тоже растет.

Поэтому у этой функции экстремумов нет.

1) x² - 2x - 48 = 0;

D = b² - 4ac;

D = (-2)²- 4 • 1 • (-48) = 4 + 192 = 196; √D = 14;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (2 + 14)/2 = 16/2 = 8;

x2 = (2 - 14)/2 = - 12/2 = -6;

x² - 2x - 48 (x - 8)(x + 6).

2) 2x²- 5x + 3 = 0;

D = (-5)² - 4 • 2 • 3 = 25 + 24 = 49; √D = 7;

x1 = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3;

x2 = (5 - 7)/4 = -2/4 = -0,5;

2x² - 5x + 3 = 2(x + 0,5)(x - 3) = (2x + 1)(x - 3).

3) 3x² - 10x + 3 = 0;

D = (-10)² - 4 • 3 • 3 = 100 - 36 = 64; √D = 8;

x1 = (10 + 8)/6 = 18/6 = 3;

x2 = (10 - 8)/6 = 2/6 = 1/3;

3x² - 10x + 3 = 3(x - 1/3)(x - 3) = (3x - 1)(x - 3).

4) 5x² - x - 42 = 0;

D = (-1)^2 - 4 • 5 • (-42) = 1 + 840 = 841; √D = 29;

x1 = (1 + 29)/10 = 30/10 = 3;

x2 = (1 - 29)/10 = -28/10 = -2,8;

5x² - x - 42 = 5(x + 2,8)(x - 3) = (5x +14)(x - 3).

5) 3x² - 8x + 5 = 0;

D = (-8)^2 - 4 • 3 • 5 = 64 - 60 = 4; √D = 2;

x1 = (8 + 2)/6 = 10/6 = 5/3;

x2 = (8 - 2)/6 = 6/6 = 1;

3x² -8x + 5 = 3(x - 5/3)(x - 1) = (3x - 5)(x - 1).

6) 36x² - 12x + 1 = 0;

D = (-12)^2 - 4 • 36 • 1 = 144 - 144 = 0;

x1 = x2 = 12/72 = 1/6;

36x²- 12x + 1 = 36(x - 1/6)(x - 1/6) = 6(x - 1/6) * 6(x - 1/6) = (6x - 1)(6x - 1).