4. На сторонах прямоугольника построены квадраты Площадь одного квадрата на 56 см² больше площади другого. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 4 см больше его ширины.
х - ширина прямоугольника.
у - длина прямоугольника.
х² - площадь малого квадрата.
у² - площадь большего квадрата.
1) По условию задачи система уравнений:
у = х + 4
у² - х² = 56
В первом уравнении у выражен через х, подставить это выражение во второе уравнение и вычислить х:
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(c+a-2b)^2 Заменим: a-b=x b-c=y c-a=z x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 x^2+y^2+z^2=(x+2y)^2+(y+2z)^2+(z+2x)^2 x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+4(y^2+x^2+z^2)+4(xy+yz+zx) y^2+x^2+z^2=-(xy+yz+zx) y^2+x^2+z^2+2(xy+yz+zx)=xy+yz+zx (x+y+z)^2=xy+yz+zx можно заметить что x+y+z=0 xy+yz+zx=0 2xy+2yz+2zx=0 Вернемся к исходному равенству: x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 Складывая его с полученным: x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zx=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 (x+y+z)^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 тк x+y+z=0 (a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2=0 Сумма квадратов 0 кагда каждый из них 0 a+b-2c=0 b+c-2a=0 c+a-2b=0 вычетая 1 и 2 уравнение получим: -2c+2a=0 c=a вычетая 2 и 3 получим 2b-2a=0 a=b Откуда a=b=c Чтд
В решении.
Объяснение:
4. На сторонах прямоугольника построены квадраты Площадь одного квадрата на 56 см² больше площади другого. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 4 см больше его ширины.
х - ширина прямоугольника.
у - длина прямоугольника.
х² - площадь малого квадрата.
у² - площадь большего квадрата.
1) По условию задачи система уравнений:
у = х + 4
у² - х² = 56
В первом уравнении у выражен через х, подставить это выражение во второе уравнение и вычислить х:
(х + 4)² - х² = 56
х² + 8х + 16 - х² = 56
8х = 56 - 16
8х = 40
х = 40/8
х = 5 (см) - ширина прямоугольника.
5 + 4 = 9 (см) - длина прямоугольника.
Проверка:
9² - 5² = 81 - 25 = 56 (см²), верно.
2) Найти площадь прямоугольника:
S = 9 * 5 = 45 (см²).
Заменим:
a-b=x
b-c=y
c-a=z
x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
x^2+y^2+z^2=(x+2y)^2+(y+2z)^2+(z+2x)^2
x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+4(y^2+x^2+z^2)+4(xy+yz+zx)
y^2+x^2+z^2=-(xy+yz+zx)
y^2+x^2+z^2+2(xy+yz+zx)=xy+yz+zx
(x+y+z)^2=xy+yz+zx
можно заметить что x+y+z=0
xy+yz+zx=0
2xy+2yz+2zx=0
Вернемся к исходному равенству:
x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
Складывая его с полученным:
x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zx=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
(x+y+z)^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
тк x+y+z=0
(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2=0
Сумма квадратов 0 кагда каждый из них 0
a+b-2c=0
b+c-2a=0
c+a-2b=0
вычетая 1 и 2 уравнение получим:
-2c+2a=0
c=a
вычетая 2 и 3 получим
2b-2a=0
a=b
Откуда a=b=c
Чтд