Попробуем нарисовать примерный эскиз графика. y=x*(x+3)^2=x^3+6*x^2+9x Понятно что y(0)=0 ,а при возрастании x начиная от 0, функция растет. При x<0 все чуточку сложнее. Найдем производную функции: y'=3*x^2+12*x+9=0 Найдем точки подозреваемые на экстремум: 3*x^2+12*x+9=0 x^2+4x+3=0 x1=-1 x2=-3 y'=3*(x+1)*(x+3) Найдем знаки производной на промежутках: Очевидно: y(0)=9>0 ,откуда очевидна расстановка знаков. (Рисунок 1) Откуда очевидно что x=-1 -точка минимума , y(-1)=-4 x=-3 -точка максимума, y(-3)=0. При x<-3 при уменьшении далее аргумента функция очевидно убывает. Откуда можно начертить эскиз графика. (Рисунок 2) Наше уравнение: x*(x+3)^2=-a Имеет 3 корня когда прямая y=-a имеет 3 точки пересечения с графиком. Из рисунка видно что это те -a,что -a∈(0;-4) Или a∈(0;4) ответ:a∈(0;4) ( В критичных точкаx a=4 a=0 по 2 решения, Во всех остальных по одному решению)
y=x*(x+3)^2=x^3+6*x^2+9x
Понятно что y(0)=0 ,а при возрастании x начиная от 0, функция растет.
При x<0 все чуточку сложнее.
Найдем производную функции:
y'=3*x^2+12*x+9=0
Найдем точки подозреваемые на экстремум:
3*x^2+12*x+9=0
x^2+4x+3=0
x1=-1
x2=-3
y'=3*(x+1)*(x+3)
Найдем знаки производной на промежутках:
Очевидно: y(0)=9>0 ,откуда очевидна расстановка знаков.
(Рисунок 1)
Откуда очевидно что x=-1 -точка минимума , y(-1)=-4
x=-3 -точка максимума, y(-3)=0.
При x<-3 при уменьшении далее аргумента функция очевидно убывает.
Откуда можно начертить эскиз графика. (Рисунок 2)
Наше уравнение:
x*(x+3)^2=-a
Имеет 3 корня когда прямая y=-a имеет 3 точки пересечения с графиком.
Из рисунка видно что это те -a,что -a∈(0;-4)
Или a∈(0;4)
ответ:a∈(0;4) ( В критичных точкаx a=4 a=0 по 2 решения,
Во всех остальных по одному решению)
x²-x≤0
x(x-1)≤0
Произведение отрицательно, если отрицательно один из множителей
Найдем нули (т.е. корни)
х1=0 х2=1
+ 0 - 1 +
ответ: [0;1]
б) 2х>x²
2x-x²>0
x(2-x)>0
x1=0 x2=2
+ 1 - 2 +
ответ: (-оо;1)U(2:+oo)
в) х<x²
x-x²<0
x(1-x)<0
x1=0 x2=1
- 0 + 1 -
ответ: (-oo;0)U(1;+oo)
г) 0,5x²>-3x
0,5x²+3x>0
x(0,5x+3)>0
x1=0 x2=-6
+ -6 - 0 +
ответ: (-оо;-6) U (0;+oo)