Алгебра
Решите уравнения:
1) 7x2 - 9x + 2 = 0
2) 5x2 = 12x
№ 2
Решите неравенство:
5(y - 1,2) - 4,6 > 3y + 1
Решите задачу с уравнения:
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.
№ 7
К окружности с центром O и радиусом 9 см проведена касательная CD (C – точка касания). Найдите длину отрезка OD, если CD = 12 см.
Дана точка M(1; 7; 7) и две прямые:
(x-1)/2=(y-2)/3=(z-2)/2 (1)
и (x-2)/3=(y-1)/2=(z-3)/-2 (2)
Найдём уравнение плоскости П, в которой лежат точка М)1; 7; 7) и первая заданная прямая (пусть это n1). На этой прямой задана точка (пусть точка А(1; 2; 2)).
Вектор МА: (0; -5; -5).
Нормальный вектор N плоскости П равен векторному произведению МА на n1(2; 3; 2).
i j k | i j
0 -5 -5 | 0 -5
2 3 2 | 2 3 = -10i - 10j + 0k - 0j+ 15i + 10k =
= 5i - 10j + 10k. Вектор N(5; -10 10).
Уравнение П: 5(x - 1) - 10(y - 2) + 10(z - 2) = 0.
5x - 5 - 10y + 20 + 10z - 20 = 0.
5x - 10y + 10z - 5 = 0.
Теперь найдём точку пересечения второй заданно прямой (пусть это n2) c плоскостью П.
Для этого уравнение n2 представим к параметрическом виде.
x = 3t + 2,
y = 2t + 1,
z = -2t + 3 и подставим в уравнение П: 5x - 10y + 10z - 5 = 0.
15t + 10 - 20t - 10 - 20t + 30 - 5 = 0,
25t + 25 = 0 отсюда t = 1.
Для получения координат точка В (пересечения заданной прямой n2 с плоскостью П) подставим параметр t в параметрическое уравнение n2:
x = 3t + 2 = 5,
y = 2t + 1 = 3,
z = -2t + 3 = 1.Точка В(5; 3; 1).
Прямая МВ и n1 лежат в одной плоскости, поэтому модно найти точку пересечения с прямой n1. Точка M(1; 7; 7)
Вектор МВ: (4; -4; -6).
Уравнение МВ: (x -1)/4 = (y - 7)/(-4) = (z - 7)/(-6). (3)
Для получения координат точки А1 (пересечение n1 с МВ) надо приравнять уравнения этих прямых.
Представим уравнение (1) в виде двух уравнений:
(x − 1 )/2 = (y − 2)/3, (4)
(x − 1 )/2 = (z − 2)/2. (5)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (4) и (5)
3x - 3 = 2y - 4, (6)
2x - 2 = 2z - 4. (7)
Аналогичным образом поступим и с уравнением (3).
(x -1)/4 = (y - 7)/(-4) = (z - 7)/(-6).
Представим уравнение (3) в виде двух уравнений:
(x -1)/4 = (y - 7)/(-4), (8)
(x -1)/4 = (z - 7)/(-6). (9)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (8) и (9)
-4x + 4 = 4y - 28, (10)
-6x + 6 = 4z - 28. (11)
Переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
3x - 2y = -1, (12)
2x - 2z = -2. (13)
-4x - 4y = -32, (14)
-6x - 4z = -34 (15)
Решим систему линейных уравнений (12)...(15) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого применим подстановки.
Из (14), сократив на 4, имеем у = 8 - х и подставим в (12).
3х - 2(8 - х) = -1,
3х + 2х - 16 = -1,
5х = 15, отсюда х = 15/5 = 3, а у = 8 - 3 = 5
Тогда z = х + 1 = 3 + 1 = 4.
Точка А1(3; 5; 4).