6.72. 1) a? — 62 a + b
3ab
:
3)
ab – 45°
3ab2
ab
a’ - 2ab; 5)
x? – xy x+y + xy?
*
ху
ба?ь?
x2 + xy
c² + cd
x² + xy xy + y²
2)
y
:
4)
4m² - 9na 2am + 3an
mºn?
2mn
; 6)
C + d
c-d2c2 - 2d
:
В B.​

Исследовать функцию f (x) = 11x/(16+x²) и построить ее график.

1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Функция f (x) = 11x/(16+x²) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –11x(16+x²) ≠ f(x) 

 f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –(11x(16+x²)) = –f(x)

Функция является четной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0, 11x/(16+x²) = 0 ⇒ x=0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Находим производную заданной функции.
f′(x)=(11⋅x/(16+x²))′=((11⋅x)′⋅(16+x²)−11⋅x⋅(16+x²)′)/(16+x²)²=(11⋅(16+x²)−11⋅x⋅(x²)′)(16+x²)²=((11⋅(16+x²)−22⋅x⋅x)/(16+x²)².
ответ:f′(x)=(11⋅(16+x²)−22⋅x²)(16+x²)² = (11(16-x²))/(16+x²)².
Приравниваем её нулю (достаточно числитель):
11(16-х²) = 0, 16 = х², х = +-4.

 x = 4, x = -4  критические точки.

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке:
x_{2} = -4
Максимум функции в точке: x_{2} = 4.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Возрастает на промежутках [-4, 4]
Убывает на промежутках (-oo, -4] U [4, oo)

6. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 
Вторая производная
\frac{22 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x_{1} = 0
x_{2} = - 4 \sqrt{3}
x_{3} = 4 \sqrt{3}

7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-4*sqrt(3), 0] U [4*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -4*sqrt(3)] U [0, 4*sqrt(3)]

8. Искомый график функции дан в приложении.

15км/ч

Объяснение:

(t-1) - время, затраченное по течению;

t - время, затраченное против течения;

(v+1) - скорость катера по течению;

(v-1) - скорость катера против течения.

Составляет систему уравнений:

(t-1)(v+1)=112

t(v-1)=112

(t-1)(v+1)-t(v-1)=112-112

tv+t-v-1-tv+t=0

tv-tv+t+t-v-1=0

2t-v-1=0

2t-v=1

v=2t-1

t(2t-1-1)=112

2t^2 -2t=112

2(t^2 -t)=112

t^2 -t=112/2

t^2 -t=56

t^2 -t-56=0

D=1^2 -4×1×(-56)=1+224=225

t1=(-(-1)+√225)/(2×1)=(1+15)/2=16/2=8ч

t2=(1-15)/2= -14/2= -7

Отсюда следует, что время, затраченное против течения, составляет 8 часов.

8(v-1)=112

v-1=112/8

v=14+1=15км/ч - скорость катера.