5 задание.В прямоугольном параллелепипеде длина на 5 см больше ширины и на 5 см меньше высоты.Найдите измерение прямоугольного параллелепипеда,если площадь его поверхности равна 334 см в квадрате.

Пусть p>1 общий делитель k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k
Разложим k^4 + 12 * k^2 +12 = k (k^3 + 9k) + 3*k^2 + 12
Так как p делитель  k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k, то p должно быть делителем и 3*k^2 + 12.
То есть p делитель k^3+9k и 3*k^2 + 12.
Далее, заметим, что p = 3 подходит. При p = 3, существует k = 3, при котором выполняется условие задачи.
Если p простое и не равно 3, то можно поделить второе число на 3 (p делитель 3*k^2 + 12 и p<>3, следовательно p делитель k^2+4).
Получим, что p делитель k^3+9k и k^2 + 4.
Разложим k^3+9k = k (k^2+4) + 5k
Так как p делитель k^3+9k и k^2 + 4, то p делитель и 5k.
Значит, p общий делитель 5k и k^2+4.
Заметим, что p = 5 подходит. При p = 5, k =1 и выполняется условие задачи.
Если p простое и не равно 5, то т.к. p делитель 5k, то p делитель k.
Тогда p - делитель k и k^2+4. 
Аналогично раскладываем k^2 + 4 = k* k + 4. Отсюда следует, что p должно быть делителем 4. То есть p может равняться 2. При p=2, k=2 условие задачи выполнено.
После очередного разложения у нас осталось два числа k и 4. Общий простой делитель p=2 мы уже рассмотрели.

Итак, всего есть три простых p: p=5, p=3, p = 2. Тогда ответ: наибольшее простое p = 5.
 

Пусть искомое трехзначное число ABC=100A+10B+C
Тогда возможные двузначные числа:
AB+AC+BC+CA+CB+BA=100A+10B+C
10A+B+10A+C+10B+C+10C+B+10B+A=100A+10B+C
22A+22B+22C=100A+10B+C
78A=12B+21C
26A=4B+7C
26A - четное число вне зависимости от А, 4В - четное вне зависимости от В,
7С - в зависимости от С может быть четным и нечетным.
Чтобы сумма была четной, нужно сложить два четных числа (в нашем случае), значит 7С должно быть четным. Это возможно, когда С - четное.

Например,
С=2, A=1, B=3 => 132=13+12+32+31+23+21
C=4, A=2, B=6 => 264=26+24+64+62+46+42
C=6, A=3, B=9 => 396=39+36+96+93+69+63
Это примеры удачных чисел.