5. Расстояние между пунктами А и Б равно 1 км. Андрей вышел из пункта А по направлению к пункту Б. Одновременно с ним из пункта Б в том же направ-
лении вышел Борис со скоростью на 0,5 км/ч меньше скорости Андрея, удаля-
ясь от пункта А. Их встреча произошла на расстоянии 8 км от пункта Б. Каким
было расстояние между Андреем и Борисом, когда Андрей дошел до пункта Б?
6. Расстояние между пунктами А и Б равно 12 км. Первый и второй велоси-
педист выехали из пункта А в пункт Б, и в то же время навстречу из пункта Б
выехал третий велосипедист, который после выезда через 18 мин встретился с
первым велосипедистом, а еще через 2 мин после этого встретился со вторым
велосипедистом. На сколько скорость первого велосипедиста больше скорости
второго велосипедиста?
7. Два катера имеют одинаковую собственную скорость движения. Первый
катер поплыл из пункта А по течению в направлении пункта Б. Одновременно
из пункта Б навстречу поплыл другой катер и встретился с первым катером, ко-
гда первый катер проплыл 5
8
расстояния между пунктами А и Б. Во сколько раз
собственная скорость катеров больше скорости течения реки?
8*. По берегу реки в направлении течения последовательно расположены
пристани А, Б, В так, что расстояния от А до Б и от Б до В равны 15 км. На мо-
торной лодке путь от Б до В и затем от В до А занимает 1 ч 25 мин, а путь от Б
до А и затем от А до Б занимает 1 ч 20 мин. Найдите скорость течения реки.
9. По улицам города водитель треть пути ехал со скоростью 40 км/ч, еще чет-
верть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшуюся третью часть пути с такой по-
стоянной скоростью, что средняя скорость его движения на всем пути была
48 км/ч. С какой скоростью водитель проехал третью часть пути?
10. Два велосипедиста выехали с места старта по кольцевому маршруту од-
новременно в противоположных направлениях. Первому велосипедисту, кото-
рый ехал быстрее второго, после первой встречи нужно было ехать 1,8 км до
места старта, а второму велосипедисту после второй встречи нужно было ехать
0,4 км до места старта. Найдите длину кольцевого маршрута.
3
11*. Два спортсмена выбегают одновременно с места старта в одном направ-
лении по дорожке стадиона длиной 400 м со скоростями 16,8 и 17 км/ч. Сколько
метров до места старта придется бежать более быстрому спортсмену, когда рас-
стояние между спортсменами первый раз станет равным 20 м?
12. Водитель хотел проехать весь путь с одной скоростью за некоторое вре-
мя. Однако, передумал и часть пути проехал со скоростью на 20 % больше, чем
собирался ехать, а остальную часть пути со скоростью на 20 % меньше, чем со-
бирался в самом начале. В итоге получилось, что на весь путь он затратил такое
же время, что и планировал в начале. Какую часть пути водитель проехал с
меньшей скоростью?
13. Коля ехал в поезде со скоростью 76 км/ч, а Толя ехал по встречному пу-
ти. Расстояние между Колей и Толей дважды было равно 16 км, сначала через
5 ч после начала поездки Коли, а затем через 5 ч 12 мин после начала этой по-
ездки. С какой скоростью ехал Толя?
14. Водитель собирался проехать от одного города до другого с некоторой
постоянной скоростью за некоторое время. Если эту скорость увеличить на
20 %, то на весь путь ушло бы на полчаса меньше времени. А если скорость
уменьшить на 10 км/ч, то на весь путь ушло бы на 3
8
ч больше времени, чем
предполагалось. Найдите расстояние между городами.
В случайном порядке было отобрано 25 студентов экономического факультета и выписан их возраст:
19 17 22 18 17
17 23 21 18 19
17 22 18 18 18
20 17 19 21 17
21 17 18 23 18
Составить статистическое распределение студентов по возрасту. Построить полигон и кумуляту. Найти эмпирическую функцию распределения и дать ее графическое изображение.
Решение. 1. По исходным данным составим статистическое распределение выборки.
Таблица 1.1.
xi
mi
2. Вычислим относительные частоты, и результаты вычислений внесем в третий столбец таблицы 1.2. Относительные частоты находим по формуле
= .
В данном случае объем выборки n=25. Относительные частоты: =7/25=0,28; = 0,28; = 3/25=0,12; = 1/25=0,04; = 3/25=0,12; = =2/25=0,08.
=0,28 + 0,28 + 0,12 + 0,04 + 0,12 + 0,08 + 0,08 = 1.
3. Вычислим накопленные частоты и результаты внесем в четвертый столбец таблицы 1.2.
mx1= m1=7; mx2= m1 + m2=7 + 7=14; mx3= m1 + m2 + m3 =7 + 7 +3=17; mx4= m1 + m2 + m3 + m4=7 + 7 + 3 + 1=18; mx5=7 + 7 + 3 + 1 + 3 = 21; mx6=21 + 2 = 23; mx7= 25.
Вычисленные относительные накопленные частоты указаны в пятом столбце таблицы 1.2.
Таблица 1.2.
варианты xi частоты mi относительные частоты, накопленные частоты, mxi относительные накопленные частоты
0,28 0,28
0,28 0,56
0,12 0,68
0,04 0,72
0,12 0,84
0,08 0,92
0,08
4. Для построения полигона распределения отложим на оси абсцисс варианты xi , на оси ординат – частоты mi.
Рис. 1.1.
Для построения кумуляты отложим на оси абсцисс варианты xi, на оси ординат – накопленные частоты.
Рис. 1.2.
5. Найдем эмпирическую функцию F*(x) по данному распределению выборки.
Объем выборки n=25.
Наименьшая варианта х1=17, следовательно F*(x)=0, при х≤17. Значение х<18, а именно х1=17 наблюдалось 7 раз, следовательно F*(x)=7/25=0,28, при 17<х≤18. Значения х<19, а именно х1=17, х1=18 наблюдались 7+7=14 раз, следовательно F*(x)=14/25=0,56, при 18<х≤19. Аналогично, F*(x)=17/25=0,68 при 19<х≤20; F*(x)=18/25=0,72, при 20<х≤21; F*(x)=21/25=0,84, при 21<х≤22; F*(x)=23/25=0,92, при 22<х≤23. Так как х7=23 – наибольшая варианта, следовательно F*(x)=1, при х >23.
Эмпирическая функция имеет вид
F*(x)=
Построим график этой функции
Рис. 1.3.
Пример 2. Наблюдения за жирностью молока у 50 коров дали следующие результаты (в %).
3,86 3,84 3,69 4,00 3,81 3,73 4,14 3,76
4,06 3,94 3,76 3,46 4,02 3,52 3,72
3,67 3,98 3,71 4,08 4,17 3,89 4,33
3,97 3,57 3,94 3,88 3,72 3,92 3,82
3,61 3,87 3,82 4,01 4,09 4,18 4,03
3,96 4,07 4,16 3,93 3,78 4,26 3,26
4,04 3,99 3,76 3,71 4,02 4,03 3,91
По этим данным построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами и изобразить его графически (построить полигон, гистограмму, кумуляту).
Решение. 1. Выполним разбиение данного ряда на интервалы,
n=50, xmax=4,33; xmin=3,46.
Число интервалов к=1 + 3,322lg50=1 + 3,322·1,7=6,6474≈7;
длина каждого интервала h=
за начало первого интервала примем величину хнач=хmin – 0,5h=3,46 – 0,5·0,14=3,46 – 0,07≈3,4.
Таблица 1.3.
жирность молока, интервал середина интервала, хi частота, mi относительная частота, накопленная частота, mxi относительная накопленная частота
3,40- 3,54 3,47 2/50=0,04 0,04
3,54-3,68 3,61 4/50=0,08 6 (2+4) 0,12
3,68-3,82 3,75 13/50=0,26 19 (6+13) 0,38
3,82-3,96 3,89 11/50=0,22 30 (19+11) 0,60
3,96-4,10 4,03 14/50=0,28 44 (30+14) 0,88
4,10-4,24 4,17 4/50=0,08 48 (44+4) 0,96
4,24-4,38 4,31 2/50=0,04 50 (48+2)
2. Для построения гистограммы откладываем на оси абсцисс интервалы длинной h=0,14. На этих интервалах построим прямоугольники высотой, пропорциональной частоте. Для построения полигона середины верхних оснований соединим ломаной линией.
Рис. 1.4.
Для построения кумуляты на оси абсцисс отложим середины интервалов, а на оси ординат – накопленные частоты.
Рис. 1.5.
Объяснение:
ответ: 1.{3a+7b=8
{a+5b=4/*(-3)⇒-3a-15b=-12
прибавим
-8b=-4
b=-4:(-8)
b=0,5
a+5*0,5=4
a=4-2,5
a=1,5
ответ (1,5;0,5)
{4x-2y+6x+3y=32⇒10x+y=32/*7⇒70x+7y=224
{10x-5y-4x-2y=4⇒6x-7y=4
прибавим
76x=228
x=228:76
x=3
10*3+y=32
y=32-30
y=2
ответ (3;2)
2.Пусть х км в час - собственная скорость катера, у км в час - скорость течения реки.
Тогда (х+у) км в час - скорость катера по течению,
(х-у) км в час - скорость катера против течения.
3·(х+у) км путь катера по течению за 3 часа.
5·(х-у) км путь катера против течения за 5 часов.
Всего по условию задачи 92 км.
Первое уравнение:
3·(х+у) + 5·(х-у) = 92;
5·(х+у) км путь катера по течению за 5 часов.
6·(х-у) км путь катера против течения за 6 часов.
По условию задачи 5·(х+у) больше 6·(х-у) на 10.
Второе уравнение:
5·(х+у) - 6·(х-у) = 10.
Получена система двух уравнений с двумя переменными.
{3·(х+у) + 5·(х-у) = 92 ⇒{3x+3y+5x-5y=92 ⇒ { 8x-2y=92 ⇒ {4x-y=46
{5·(х+у) - 6·(х-у) = 10 ⇒{5x+5y-6x+6y=10 ⇒ {-x+11y=10 ⇒ {x=11y-10
{4·(11y-10)-y=46
{x=11y-10
{44y-40-y=46
{x=11y-10
{43y=86
{x=11y-10
{y=2
{x=11·2-10=12
О т в е т. 12 км в час - собственная скорость катера, 2 км в час - скорость течения реки.
3.График линейной функции имеет вид: y=kx + m
Известно, что график проходит через точки А(2;-1) и В(-2;-3). Согласно условию задачи,составлю систему уравнений.
2k+m= -1
-2k+m= -3
2m = - 4
m= - 2
Подставим значение m= -2 в одно из уравнений, получим:
2k - 2 = -1
2k= 1
k= 1/2 = 0,5
График линейной функции имеет вид: y = 0,5k - 2
Объяснение: