С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Следовательно, достаточно найти уравнения двух любых высот треугольника и точку их пересечения, решив систему двух уравнений.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Значит надо найти уравнение стороны треугольника и уравнение прямой, проходящей через противоположную вершину, перпендикулярно этой стороне.
Уравнение прямой АВ найдем по формуле:
(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya). Или
(X+4)/2=(Y-0)/-2 - каноническое уравнение =>
y=-x-2 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-1.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1=1.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АВ из вершины С
найдем по формуле:
Y-Yс=k1(X-Xс) или Y-2=X-2 =>
y=х (1) - это уравнение перпендикуляра СС1.
Уравнение прямой АС:
(X-Xa)/(Xс-Xa)=(Y-Ya)/(Yс-Yа). Или
(X+4)/6=(Y-0)/2 - каноническое уравнение =>
y=(1/3)x+4/3 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=1/3.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1 = -3.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АС из вершины В
найдем по формуле:
Y-Yb=k1(X-Xb) или Y+2=-3(X+2) =>
y=-3х-8 (2)- это уравнение перпендикуляра BB1.
Точка пересечения перпендикуляров имеет координаты:
х=-3х - 8 (подставили (1) в (2)) => х = -2.
Тогда y = -2.
ответ: точка пересечения высот совпадает с вершиной В(-2;-2)
треугольника, то есть треугольник прямоугольный с <B=90°.
Для проверки найдем длины сторон треугольника:
АВ=√(((-2-(-4))²+(-2)²) = 2√2.
ВС=√(((2-(-2))²+(2-(-2))²) = 4√2.
АС=√(((2-(-4))²+2²) = 2√10.
АВ²+ВС² = 40; АС² = 40.
По Пифагору АВ²+ВС² = АС² - треугольник прямоугольный.
Объяснение:
<!--c-->
Преобразим заданное уравнение:
x3+12x2−27x=a
С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
3x2+24x−27=0|÷3x2+8x−9=0D4=(b2)2−ac=822+9=25x1,2=−b2±D4−−√a=−82±25−−√1=−82±5x1=−82−5=−9x2=−82+5=1
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
Объяснение: