Рассмотрим сначала случай (k - 1) = 0 <=> k = 1. Тогда уравнение примет вид 2^x = 3/4 и имеет один корень. Пусть k не равно 1. Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта: D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6. Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2. Находим корни: y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1); y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1). Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства: 1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0; 2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0. Решение первого очевидно: 1 < k <= 2. Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы: 1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0. 2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0. Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2. Решение второй системы: -2 < k < 1. Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.
Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта:
D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6.
Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2.
Находим корни:
y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1);
y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1).
Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства:
1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0;
2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0.
Решение первого очевидно: 1 < k <= 2.
Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы:
1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0.
2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0.
Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2.
Решение второй системы: -2 < k < 1.
Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.
Дана функция у = (х-1)²/x².
1.Область определения функции. D ∈ R : x ≈ 0.
2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.
График функции пересекает ось X при f = 0.
Значит, надо решить уравнение (х-1)²/x² = 0.
Решаем это уравнение (достаточно приравнять нулю числитель):
(х-1)² = 0, х-1 = 0, х = 1.
Точки пересечения с осью X: (1; 0).
График пересекает ось Y, когда x равняется 0.
Подставляем x = 0 в (x - 1)²/x².
Результат: (0 - 1)²/0² невыполним, значит, график не пересекает ось Оу.
3. Промежутки знакопостоянства функции.
Так как переменная в числителе и знаменателе в квадрате, то функция на всей числовой оси только положительна.
4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).
f(-x) = ((-x) - 1)²/((-x)²) = (x + 1)²/x² ≠ f(x) ≠ -f(-x).
Поэтому функция не чётная и не нечётная.
5. Периодичность графика. Не периодична.
6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - смотри приложение.
7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.
Первая производная: y' = (1/x²)*(2x - 2) - (2/x³)*(x - 1)²
или y' = (2x - 2)/x³.
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(достаточно числитель): 2x-2 = 0
Откуда: x1 = 2/2 = 1.
(-∞ ;0) (0; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает.
В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x_{1} = \frac{3}{2}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x_{1} = 0.
\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.
\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.
- пределы равны, значит, пропускаем соответствующую точку.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3/2]
Выпуклая на промежутках
[3/2, oo)
9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - смотри приложение.
10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график - даны в приложении.
11. Построение графика функции по проведенному исследованию дан в приложении.