3. Возвести в куб сумму 3х+1:

а) 9х3+27х2+9х+1;

б) 27х3 +27х2+9х+1;

в) 9х3+6х2+3х+1.

4. Преобразуйте выражение в многочлен : (5у+2х)2

а) 5у2+10ху+2х2;

б) 25у2+10ху+4х2;

в) 25у2+20ху+4х2.

5. Представьте в виде многочлена: (6-2m)2

а) 36-24m+4m2;

б) 36+24m+4m2;

в) 6-12m+2m2.

Пусть было сделано n обменных операций 1-го типа и k операций 2-го типа (по порядку как они шли в условии). Тогда количество золотых монет в результате изменится на величину -4n+5k=0 т.к. их общее количество не изменилось, а при каждой операции 1-го типа золотых уменьшается на 4, и 2-го типа количество золотых увеличивается на 5. На операции каждого типа количество медных монет увеличивается на 1, значит всего было сделано 45 операций, т.е. n+k=45. Отсюда n=45-k, -4(45-k)+5k=0, k=20, n=25. Аналогично, как с золотыми, количество серебряных изменится на величину 5n-8k=5*25-8*20=125-160=-35. Т.е. количество серебряных монет уменьшилось на 35.

      Для того, чтобы выяснить наибольшее число залов, которые можно обойти, не заходя ни в какой зал дважды, нужно правильно раскрасить замок - треугольник. Раскрашиваем в шахматном порядке. Тогда путь по залам - это граф, с вершинами в центрах залов и ребрами  - проходами между залами. Видно, ни одно ребро не соединяет вершины одного цвета.

     Если начать раскрашивать с первого нижнего углового треугольника  в порядке: 1 красим, один - нет, то сумму незакрашенных треугольников можно вычислить по формуле сцммы 1-х n-членов арифметической прогрессии:  

а₁=1 (второй верхний ряд треугольников сверху:

а₂=9 (десятый ряд треугольников)

   Всего незакрашеные треугольники есть в 9-и рядах, вершина - закрашена)

S₉=(1+9)/2*9=5*9=45 незакрашенных треугольников - залов, значит можно посетить не более 45 незакрашенных залов.

    Тогда маршрут может проходить не более, чем по 45+1 закрашенным залам: А - незакрашенный треугольник;

                                      В - закрашенный треугольник.

                             Маршрут=А+В=А+(А+1)=45+45+1

                             Маршрут = 91 зал

    Во вложении 1 - маршрут, который начинается в нижнем левом треугольнике и,  продолжаясь по спирали, заканчивается в среднем закрашенном треугольнике, в четвёртом снизу ряду.

    Залы, в которые не надо заходить, иначе придется посетить один зал дважды, отмечены чифрами от 1 до 9 по маршруту движения.

   Для наглядности, во вложении 2, пример, подтверждающий формулу, рассмотрен на маленьком треугольнике, разделенном на  9 маленьких.