2х-у-4. решением будет (0: 4)(2; 0)(3; -10)(3; -2)​

4

Объяснение:

а)ОДЗ:

{ tan(x) ≥0 (Т.к. подкоренное выражение всегда неотрицательно)

{ cos(x) ≠0 (Т.к. тангенс это синус, делённый на косинус,а на ноль делить нельзя)

Произведение равно нулю,когда хотя бы один из множителей равен нулю

1) 2sin²(x)-3cos(x) = 0

Из основного тригонометрического тождества sin²(x)+cos²(x) = 1 выразим синус

sin²(x) = 1-cos²(x)

2(1-cos²(x))-3cos(x) = 0

2-2cos²(x)-3cos(x) = 0|:(-1)

2cos²(x)+3cos(x)-2 = 0

Пусть cos(x) = t, -1 ≤ t ≤ 1, тогда

2t²+3t-2 = 0

D = 3²-4*2*(-2) = 9+16 = 25 = 5²

Второй корень меньше -1,поэтому мы его рассматривать не будем

Вернёмся к замене

Если t = 0,5, тогда

cos(x) = 0,5

Это равенство распадается на совокупность двух:

[ x = arccos(0,5) + 2пn, n∈Z

[ x = -arccos(0,5) + 2пn, n∈Z

[ x = п/3 + 2пn, n∈Z

[ x = -п/3 + 2пn, n∈Z

Второй корень не подходит по ОДЗ,так что единственное решение этого равенства x = п/3 + 2пn, n∈Z

2)

Дробь равна нулю,когда числитель равен нулю,а знаменатель не равен нулю

{ sin(x) = 0

{ cos(x) ≠ 0

{ х = пn, n∈Z

{ x ≠ п/2 + пn, n∈Z

Пересечений с ОДЗ нет,поэтому наше решение входит в ответ

б) Находим количество решений на отрезке [0;2П] ( см. вложение)

По рисунку мы видим,что у уравнения на данном отрезке 4 корня(0,п/3,п,2п)

|x+4| + |x+1| + 3cosпx = 0

|x+4| + |x+1| = -3cosпx  

-3 <= 3cosпx <= 3

cosпx < 0

-3 <= 3cosпx < 0

Oценим модули

x < -4

-x - 4 - x - 1 = - 2x - 5  > - 2*(-4) - 5 = 3 нет решений

Левая часть > 3 > правая часть

x > -1

x + 4 + x + 1 = 2x + 5 > 2*(-1) + 5 = 3

Левая часть > 3 > правая часть

-4 <= x <=-1

x + 4 - x - 1 = 3

Левая часть = 3

-3cosпx = 3

cosпx = -1

πx = π + 2πk  k ∈ Z

x = 1 + 2k

-4 <= 1 + 2k <= -1

-5 <= 2k <= -2

-2,5 <= k <= -1

k = -2, -1

x = -3, -1

x1*x2 = -3 * -1 = 3

ответ 3