2 Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями, и
сравните с ответом:
a ) f ( x )=16− x^2 , y=0;
Б) f ( x ) = cosx; y=0, x=0,x= П/2;
В) f ( x ) = 1/3 х^2, y=0, x=1,x=2;
г)f ( x ) =4/x, y=0, x=3, x=e
С решением и рисунком. ответы :
85 1/3 ;1; 1.25; 4.

Выражение: 36-(6-x)^2=x*(2.5-x)ответ: 9.5*x=0Решаем по действиям:
1. (6-x)^2=36-12*x+x^2
  (6-x)^2=((6-x)*(6-x))
  1.1. (6-x)*(6-x)=36-12*x+x^2
      (6-x)*(6-x)=6*6-6*x-x*6+x*x
    1.1.1. 6*6=36
          X6
           _6_
          36
    1.1.2. -6*x-x*6=-12*x
    1.1.3. x*x=x^2
          x*x=x^(1+1)
      1.1.3.1. 1+1=2
              +1
               _1_
               2
2. 36-(36-12*x+x^2)=36-36+12*x-x^2
3. 36-36=0
  -36
   _3_6_
   00
4. x*(2.5-x)=x*2.5-x^2
  x*(2.5-x)=x*2.5-x*x
  4.1. x*x=x^2
      x*x=x^(1+1)
    4.1.1. 1+1=2
          +1
           _1_
           2
5. 12*x-x^2-(x*2.5-x^2)=12*x-x^2-x*2.5+x^2
6. 12*x-x*2.5=9.5*x
7. -x^2+x^2=0Решаем по шагам:
1. 36-(36-12*x+x^2)-x*(2.5-x)=0
  1.1. (6-x)^2=36-12*x+x^2
      (6-x)^2=((6-x)*(6-x))
    1.1.1. (6-x)*(6-x)=36-12*x+x^2
          (6-x)*(6-x)=6*6-6*x-x*6+x*x
      1.1.1.1. 6*6=36
              X6
               _6_
              36
      1.1.1.2. -6*x-x*6=-12*x
      1.1.1.3. x*x=x^2
              x*x=x^(1+1)
        1.1.1.3.1. 1+1=2
                  +1
                   _1_
                   2
2. 36-36+12*x-x^2-x*(2.5-x)=0
  2.1. 36-(36-12*x+x^2)=36-36+12*x-x^2
3. 12*x-x^2-x*(2.5-x)=0
  3.1. 36-36=0
      -36
       _3_6_
       00
4. 12*x-x^2-(x*2.5-x^2)=0
  4.1. x*(2.5-x)=x*2.5-x^2
      x*(2.5-x)=x*2.5-x*x
    4.1.1. x*x=x^2
          x*x=x^(1+1)
      4.1.1.1. 1+1=2
              +1
               _1_
               2
5. 12*x-x^2-x*2.5+x^2=0
  5.1. 12*x-x^2-(x*2.5-x^2)=12*x-x^2-x*2.5+x^2
6. 9.5*x-x^2+x^2=0
  6.1. 12*x-x*2.5=9.5*x
7. 9.5*x=0
  7.1. -x^2+x^2=0
Решаем уравнение 9.5*x=0:

x=0/9.5=0.

Арксинус, arcsin

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
sin(arcsin x) = x     
arcsin(sin x) = x     

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус 
График функции   y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
cos(arccos x) = x     
arccos(cos x) = x     

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус 
График функции   y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

 y = arcsin xy = arccos xОбласть определения– 1 ≤ x ≤ 1– 1 ≤ x ≤ 1Область значений  Возрастание, убываниемонотонно возрастаетмонотонно убываетМаксимумы    Минимумы    Нули, y = 0x = 0x = 1Точки пересечения с осью ординат, x = 0y = 0y = π/2Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 xarcsin xarccos xград.рад.град.рад.– 1– 90°– 180°π– – 60°– 150°– – 45°– 135°– – 30°– 120°00°090°30°60°45°45°60°30°190°0°0

 ≈ 0,7071067811865476
 ≈ 0,8660254037844386

ФормулыСм. также:
Вывод формул обратных тригонометрических функций

 
 
 

Формулы суммы и разности

  
     при или 
 
     при и 
  
     при и

  
     при или 
 
     при и 
 
     при и

  
     при  
  
     при 

  
     при  
  
     при 

Выражения через логарифмы, комплексные числаСм. также:
Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков:
,
где  – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку   x = sin t   и интегрируем по частям: 
  .

Выразим арккосинус через арксинус: 
  .

Разложения в ряды

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
 ; 
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x      
cos(arccos x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса: 
arcsin(sin x) = x     при  
arccos(cos x) = x     при .