2.8. Решите уравнение:​

х=³√4

Объяснение:

[x] - целая часть числа х,

{х} - дробная часть числа х,

х = [х] + {х}, при этом 0 ≤ {х} < 1 →

[х] = х - {х}

x³-[x]=3 →

х³-(х-{х})=3

х³-х+{х}=3

{х}= 3+х-х³ →

0 ≤ 3+х-х³ < 1 | -3

-3 ≤ х-х³ < -2 | *(-1)

2 < х³-х ≤ 3

Пусть f(x)=x³-x

f'(x)=(x³-x)'=3x²-1

f'(x)=0 при 3х²-1=0

3х²=1, х²=1/3, х= ±1/(√3)

f'(x). +. -. +

оо>

f(x) ↑ -1/√3 ↓ 1/√3. ↑ х

f(max) = f(-1/√3) = x³-x = x(x²-1) = -1/√3 * ((-1/√3)² -1) = -1/√3 * (1/3 - 1) = -1/√3 * (-2/3) = 2/3√3 < 2 →

на промежутке от (-∞; 1/√3) функция f(x)=x³-x не имеет значений, подходящих неравенству 2 < f(x) ≤ 3

рассмотрим ближайшее целое значение в ближайшей точке = 1:

f(1) = 1³-1 = 0

в точке 2: f(2)=2³-2=8-2=6 →

в промежутке от 1 до 2 функция изменяется от 0 до 6 и содержится нужный промежуток (когда функция изменяется от 2 до 3) →

1 < х < 2 → [х] = 1

Подствляем в исходное уравнение:

х³-1=3

х³=4

х=³√4

ответ:  x=1.

Объяснение:

Решение.

Числитель и знаменатель первой дроби разложим на множители. Для этого найдем их корни.

3x²+4x-4=0;

a=3;  b=4;  c=-4;

D=b²-4ac = 4²-4*3*(-4)=16+48=64=8²>0 - 2 корня.

x1,2 = (-b±√D)/2a=(-4±8)/6;

x1=(-4-8)/6=-12/6 = -2;

x2=(-4+8)/6=4/6=2/3;

Числитель 3x²+4x-4=0 примет вид:

(x-(-2))(x-2/3)=(x+2)(3x-2).

Преобразуем знаменатель (ОДЗ:   2x²+5x+2≠0);

2x²+5x+2=0;

a=2;  b=5;  c=2;

D=b²-4ac = 5²-4*2*2=25-16=9=3²>0 - 2 корня;

x1,2=(-b±√D)/2a=(-5±3)/4;

x1=(-5+3)/4=-2/4=-1/2;

x2=(-5-3)/4=-8/4=-2.

Знаменатель дроби примет вид:

(x-(-1/2))(x-(-2))=(2x+1)(x+2);

Тогда уравнение примет вид:

(x+2)(3x-2)/(2x+1)(x+2)=(2x-1)²/(4x²-1);  

Сокращаем первую дробь на (x+2):

(3x-2)/(2x+1)=(2x-1)²/(4x²-1);  => 4x²-1=(2x-1)(2x+1) =>

(3x-2)/(2x+1)=(2x-1)²/(2x-1)(2x+1);

Сокращаем вторую дробь на (2х-1):

(3x-2)/(2x+1) =(2x-1)/(2x+1);   ( ОДЗ:  2x+1≠0;  2x≠-1;  x≠-1/2).

И, окончательно:

3x-2=2x-1;

3x-2x=-1+2;

x=1.