1) 3sinx-√3 cosx=3; Уравнения вида asinx+bcosx=c решаются следующим образом: 1) нужно разделить обе части уравнения на выражение √(a²+b²); a=3, b=-√3; √(3²+(-√3)²)=√(9+3)=√12=2√3; 2) получаем уравнение вида √3/2sinx-1/2cosx=√3/2; (√3/2=cosπ/6, 1/2=sinπ/6); Далее используем формулу сложения (сумму или разность для синуса): sinx*cosπ/6-cosx*sinπ/6=√3/2; sin(x-π/6)=√3/2; x-π/6=(-1)^(k)*arcsin(√3/2)+πk, k∈Z; x-π/6=(-1)^(k)*π/3+πk,k∈Z; x=(-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z. ответ: (-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z.
Во втором уравнении несколько сложней, так как получаются не табличные значения. Для уравнения вида asinx+bcosx=c есть равносильное уравнение sin(x+α)=c/√(a²+b²), где α=arccos a/√(a²+b²), α=arcsin b/√(a²+b²), α=arctg b/a. 2) 4sinx+6cosx=1; a=4, b=6, √(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13; В этом уравнении удобнее взять α=arctg b/a=arctg 6/4=arctg 3/2. Получаем sin(x+arctg 3/2)=√13/26; x=(-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z. ответ: (-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z.
Пусть l метров в час - скорость бурения 3 скважины, а t - время, через которое её глубина стала равной глубине второй скважины. Так как последняя равна 1*t=t метров в час, то получаем уравнение l*(t-1)=t. По условию, l*(t-1+1,5)=l*(t+0,5)=2*(t+1,5). Из первого уравнения находим l=t/(t-1). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение t(t+0,5)/(t-1)=(t²+0,5*t)/(t-1)=2t+3, или t²+0,5*t=(2t+3)(t-1), или t²+0,5*t=2t²+t-3, или t²+0,5t-3=0, или 2t²+t-6=0. Дискриминант D=1²-4*2*(-6)=49=7². Отсюда t=(-1+7)/4=1,5 часа, а l=t/(t-1)=1,5/0,5=3 метра в час. ответ: 3 метра в час.
Уравнения вида asinx+bcosx=c решаются следующим образом:
1) нужно разделить обе части уравнения на выражение √(a²+b²);
a=3, b=-√3; √(3²+(-√3)²)=√(9+3)=√12=2√3;
2) получаем уравнение вида
√3/2sinx-1/2cosx=√3/2; (√3/2=cosπ/6, 1/2=sinπ/6);
Далее используем формулу сложения (сумму или разность для синуса):
sinx*cosπ/6-cosx*sinπ/6=√3/2;
sin(x-π/6)=√3/2;
x-π/6=(-1)^(k)*arcsin(√3/2)+πk, k∈Z;
x-π/6=(-1)^(k)*π/3+πk,k∈Z;
x=(-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z.
ответ: (-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z.
Во втором уравнении несколько сложней, так как получаются не табличные значения.
Для уравнения вида asinx+bcosx=c есть равносильное уравнение
sin(x+α)=c/√(a²+b²), где α=arccos a/√(a²+b²), α=arcsin b/√(a²+b²), α=arctg b/a.
2) 4sinx+6cosx=1;
a=4, b=6, √(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13;
В этом уравнении удобнее взять α=arctg b/a=arctg 6/4=arctg 3/2.
Получаем
sin(x+arctg 3/2)=√13/26;
x=(-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z.
ответ: (-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z.