13.3. Последовательность (а) — арифметическая прогрессия. Най- дните:
1) а7, если а1
-3 и d = 2;
2) а5, если а1, 2,3 и d = 1,2;
3) а11, если а1, -2,1 и d = -2,3;
4) а9, если a1 = 0,6 и d = 1,02.​

Пусть три данных числа равны а, ак, аk^2, тогда числа a, ak+8, ak^2 - образуют арифмитическую прогрессию, и по одному из ее свойств иммеем

2(ak+8)=a+ak^2

числа a, ak+8, ak^2+64 - образуют геометрическую прогресию и по одному из ее свойств

(ak+8)^2=a(ak^2+64)

Нам нужно найти сумму a+ak+ak^2=ak+2(ak+8)=3ak+16

2(ak+8)=a+ak^2

(ak+8)^2=a(ak^2+64)

2ak+16=a+ak^2

a^2k^2+16ak+64=a^2k^2+64a

2ak+16=a+ak^2

16ak+64-64a=0

2ak+16=a+ak^2

ak+4-4a=0

a(k-4)=-4

a=4/(4-k)

2*4/(4-k) *k+16=4/(4-k)  *(1+k^2)

8k+16(4-k)=4(1+k^2)

2k+4(4-k)=1+k^2

2k+16-4k=1+k^2

k^2+2k-17=0

D=72=36*2

k1=(-2-6*корень(2))/2<0 - не подходит (данные три числа положительные, поэтом и знаменатель как отношение двух положительных чисел число положительное)

k2=(-2+6*корень(2))/2=3*корень(2)-1

k=3*корень(2)-1

a=4/(4-k)=4/(4-3*корень(2)+1)=4/(5-3*корень(2))=

=4*(5+3*корень(2))/(25-18)=4/7(5+3*корень(2))

3ak+16=3*(3*корень(2)-1)*4/7*(5+3*корень(2))+16=

=12/7*(15корень(2)+18-5-3корень(2))+112/7=

=12/7*(12корень(2))+125)

з.ы. по идеи вот так..."интересное число" получилось

сумма всех натуральных чисел от 45 до 90 это сумма арифмитической прогрессии с первым членом a[1]=45, последним членом a[n]=90 и разницей арифмиттиеческой прогрессии d=1

по формуле общего члена найдем количевство членов

a[n]=a[1]+(n-1)*d

90=45+(n-1)*1

45=n-1

n=45+1=46

по формуле суммы

S=(a[1]+a[n])/2* n

S=(45+90)/2 *46=3 105

б) сумма всех целых чисел от -100 до -65 это сумма арифмитической прогрессии с первым членом a[1]=-100, последним членом a[n]=-65, и разницей арифмитичесской прогрессии d=1

по формуле общего члена найдем количевство членов

a[n]=a[1]+(n-1)*d

-65=-100+(n-1)*1

35=n-1

n=35+1=36

по формуле суммы

S=(a[1]+a[n])/2* n

S=(-100+(-65))/2 *36=-2 970