№ 1. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК : ВК = 1 : 3, а на стороне ВС – точка L так, что CL : BL = 2 : 1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQC равна 2. (ответ: 3)

Показать ответ

Ответ:

Torquis

25.02.2022 11:02

База индукции: Квадрата два на два, у которого отсутствует одна угловая клетка, естественным образом разбивается на уголки из трёх клеток (Рис. 3).

Индукционное предположение: Квадрат 2^k на 2^k с отсутствующей угловой клеткой можно разбить на уголки из трёх клеток.

Индукционный шаг: Пусть есть квадрат $2^{k+1}$ на $2^{k+1}$ , разобъем его на четыре части так, как указано на Рис. 1. Получим четыре квадрата 2^k на 2^k и четыре незаполненных клетки, три из которых можно заполнить уголком (на Рис. 2 синий). Квадраты же 2^k на 2^k без угловных клеток мы можем заполнить согласно индукционному предположению.

Вывод: Квадрат $2^{n}$ на $2^{n}$ , без угловой клетки можно разбить на уголки из трёх клеток для $\forall \ n \in N$

Докажите, что при любом n квадрат размера 2^n на 2^n без одной угловой клетки можно разбить на уголк

0,0(0 оценок)

Ответ:

lfhnvjk2007

09.01.2023 04:07

За такое вряд ли кто-то решит. Предлагаю переделать мое решение этой же задачи (но с чуть-чуть другими цифрами).

Задумано несколько (необязательно различных) натуральных цифр. Эти числа и все из возможные суммы (по 2, 3 и тд) выписывают на дочку в порядке не убывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на лоске остается одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, даны числа 1,3,3,4, то на доске будет 1,3,4,5,6,7,8,10,11.
А) приведите пример таких чисел, для которых на доске будет написан набор 2,4,6,8
Б) существует ли пример таких чисел, доя которых написан набор 1,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22
В) приведите пример всех задуманных чисел, для которых на доске будет написан набор 9,10,11,19,20,21,22,30,31,32,33,41,42,43,52

РЕШЕНИЕ.

а) 2,2,4
б) нет. Наименьшее из написанных чисел - наименьшее из загаданных чисел; наибольшее - сумма загаданных чисел. Так, среди загаданных чисел есть 1, а сумма всех чисел равна 22. Но сумма всех чисел без единицы 22-1=21 не выписана.
в) Сумма чисел 52. Наименьшее число равно 9. 10, 11 - также загаданные числа (это не может быть суммой 9 и какого-то числа, не меньшего 9).
19 = 10 + 9; 43 = 52 - 9
20 = 11 + 9; 42 = 52 - 10
21 = 10 + 11; 41 = 52 - 11
22 = ? 33 = 52 - 10 - 9
30 = 52 - 22; 32 = 52 - 11 - 9
31 = 52 - 10 - 11

Рассмотрим случаи.
а) Число 22 среди загаданных. Тогда 30=52-22, загаданные числа 9, 10, 11, 22 - их сумма 52, и все "частичные суммы" выписаны.
б) Число 22 не среди загаданных. Тогда 22 - какая-то сумма составленная из чисел 9, 10, 11 (взятыми произвольное (возможно, нулевое) число раз).
9 не может входить в эту сумму (22-9=13 невозможно получить сложением этих чисел).
Аналогично, 10 не входит в эту сумму. Итак, 22 = 11 + 11 и 11 взято как минимум 2 раза.
Уже известные числа: 9, 10, 11, 11 - сумма 41. Оставшееся число равно 52-41=11. Легко проверить, что этот набор чисел также удовлетворяет условию.

ответ.
а) 2,2,4
б) нет
в) {9, 10, 11, 22} или {9, 10, 11, 11, 11}

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра