1.В соревнованиях по баскетболу участвовало 14 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле противника. Сколько всего игр сыграно?
2.Из цифр 0,2,3,5 составили все возможные варианты четырехзначного числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше 2000, но меньше 5000.
3. На странице альбома 13 свободных мест для фотографий. Сколькими можно вложить в свободные места 3 фотографии?
4. В ящике находятся шары с номерами 1,2,3,4….10. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер этого шара будет четным числом?
5. По списку В 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Сколькими можно выбрать 3 мальчиков и 2 девочек для работы в библиотеке?
6.На четырех карточках написаны цифры 1,3,5,7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно разложили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится число большее 5000?
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.
Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
а) 3 прямые имеют наибольшее число точек пересечения 3 ,
б) 4 прямые - 6 точек пересечения ,
в) 5 прямых - 10 точек пересечения ,
г) n прямых - \frac{n(n-1)}{2}
2
n(n−1)
точек пересечения .
Решение. Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае количество точек попарных пересечений равно количеству пар прямых из данного множества n прямых. Как мы знаем, это число равно \frac{n(n-1)}{2}
2
n(n−1)