1.Розв’язати нерівність ( tg п/6 )^(〖-х〗^2 )≥ ( tg п/6 〖 )〗^9
а) ( -∞ ; - 1 ]∪[ 3 +∞) б) ( - 6 ; 6) в) [ - 3 ; 3] г) [ - 9 ; 9 ] д) ( - ∞ ; + ∞)
2.Укажіть проміжок якому належить корінь рівняння log_2〖( х+1)〗 = log_2〖( 3 х )〗
а) ( - ∞; - 1 ) б) ( - 1 ; 0 ) в) ( 0 ; 1 )
г) [ 1 ; 3 ) д) ( 3 ; + ∞ )
3. Обчислить похідну функції у = х^3 • е^3х
а) 3 х^2 е^х б) 3 х^2 е^х + х^3 е^х в) 3 х^3 е^(х-1)
г) 3 х^2 е^х + е^х∙х^4 д) 3х^2 е^3х + 3 х^3 е^(3 х)
4.Обчислити інтеграли ∫_(-п/2)^(п/2)▒sinх dх
а) 0 б) 1 в) 2 г) – 1 д) -2
5.Знайти найбільше і найменше значення функції: у = х^3 – 3 х^2 + 3 на [ 0 ; 3 ]
6.Знайти площину фігури , обмеженої лініями у = ( х - 1)^2 у = 0 х = 2 х = 3
7. Написати рівняння дотичної до графіка функції у = cos〖2 х〗 в точці х = п/6
Итак, есть уравнение![3x^2+(m^2-4m)x+m-1=0;](/tpl/images/0708/4915/8d956.png)
Это уравнение всегда является квадратным относительно переменной х, а значит, максимум может быть два корня. Здесь это и требуется.
Ситуация, когда один корень равен другому, даже если этот корень 0, не подходит. На это есть ограничение D>0
По теореме Виета мы должны получить, что сумма корней равна 0, а их произведение всегда меньше 0.
Тогда получается, что
из этой системки (из 1-го уравнения) получаем, что m=0 или m=4, но из второго условия (неравенства) явно получаем, что m<1 и поэтому m=4 не годится. Осталось лишь ограничение D>0. Можно, конечно, было бы сказать, что при одном корне знак произведения всегда неотрицателен, а когда 0 корней, то вообще говорить не о чем. Пути 2: либо проверить само значение m=0, либо проверить D>0, например, если бы таких значений было бесконечно много.
Почему вообще это надо делать: теорема Виета работает прекрасно в любом квадратном уравнении. И вообще у уравнения n-ой степени (ограничимся здесь лишь обычными многочленами) всегда n корней по следствию из основной теоремы алгебры, правда, корни эти комплексные (множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел), так что у квадратного уравнения, на самом деле, всегда 2 корня, но не забивайте себе этим голову, просто примите к сведению, что D>0 здесь тоже надо бы проверить (а проще гораздо проверить само m=0)
Для того чтобы найти, на каких промежутках D>0, надо решить уравнение сначала D=0. Но там 4 страшных корня, 2 из которых действительные и нужны нам. Так что, как показывает практика, в эти дебри лучше не лезть. Но ради интереса я прикреплю картинки с формулами этих чисел. При подстановке m=0 D=12>0, что подходит.
И ещё раз повторю, что некоторые сведения были даны, чтобы понять, что в математике все не просто так и иногда какие-то вещи на самом деле гораздо более глубокие, чем мы думаем.
ответ:![m=0](/tpl/images/0708/4915/3fac5.png)