1. Разложите на множители группировки а)
4m-n2+4mm-n=
б) 5xx-y-2y-x2=
в) 8p+r+4rp-r2=
2. Представьте в виде многочлена выражение
а) 4x2-2x+1(1-2x)=
б) 7-3a3a+7+10a2=
в) 3m2+4m-3p4m+3p=
г) 2a+5b5b-2a-20b2=
3. Решите уравнение
а) (x+1)2-(2x-1)2=0
б) (4x+3)2-(3x-1)2=0
в) (2-x)2-4(3x+1)2=0
г) (5-2x)2-9(x+1)2=0
4.Докажите что при любом целом числе n:
а) (2n+1)2-1 делится на число 8
б) n3-n делится на число 6​

Объём шара равен 4/3πR³. Обозначим ребро куба за 2x, тогда диаметр меньшего шара также равен 2x (меньший шар касается центров всех 6 граней куба, а расстояние между центрами 2 противоположных граней равно ребру куба), а его радиус равен x. Радиус шара, описанного около куба, равен расстоянию от центра куба до его вершины. Это расстояние равно половине большой диагонали куба, а диагональ равна √3*2x, тогда радиус большего шара равен √3*x. Объём большего шара равен 4/3π*3√3*x³, а объём меньшего равен 4/3π*x³. Разделив первое число на второе, получим ответ -  3√3.

Докажем, что произведение среднего арифметического и среднего гармонического двух чисел равно произведению этих чисел. Пусть есть положительные числа a и b, тогда (a+b)/2 - их среднее арифметическое, а 2/(1/a+1/b) - их среднее гармоническое. Последнюю дробь можно переписать как 2/((a+b)/ab)=2ab/(a+b). Очевидно, что при умножении этой дроби на (a+b)/2 получится ab, то есть произведение чисел. Значит, утром 2 сентября произведение чисел не изменилось, но рассуждая аналогично, мы получаем, что оно не изменится и в каждый следующий день. Значит, оно всегда будет равно 6*7=42.