1. Постройте график функции у = x^2. С графика найдите: а) значения функции при значении аргумента, равном -2; 1; 3; б) значения аргумента, если значение функции равно 4; в) наибольшее и наименьшее значения функции на от- резке (-3; 0].
Геометрический смысл производной f`(x₀)=k k- угловой коэффициент касательной в этой точке В условии пропущен один знак f(x)=4x^3-7x^2 ? 2x-1 Поэтому, если там знак +, то решение такое
f `(x)=(4x³-7x²+ 2x-1)`=12x²-14x+2 f `(x₀)=12x₀²-14x₀+2 По условию f `(x₀)=2 Решаем уравнение 12x₀²-14x₀+2=2 2х₀(6х₀-7)=0 х₀=0 или 6х₀=7 х₀=7/6
если там знак -, то решение такое
f `(x)=(4x³-7x²- 2x-1)`=12x²-14x-2 f `(x₀)=12x₀²-14x₀-2 По условию f `(x₀)=2 Решаем уравнение 12x₀²-14x₀-2=2 6x₀²-7x₀-2=0 D=49-4·6·(-2)=49+48=97
Y=4-x² 1. ОДЗ: x∈(-∞;+∞) 2. Чётность функции: 4-х²=4-(-х)²≡4-х², ⇒ функция чётная (симметричная относительно оси ОУ). 3. Критические точки: y`=(4-x²)`=-2x=0 у(0)=4-0²=4 ⇒ уmax=4, а (0;4) - точка перегиба. x=0 y`=0 ⇒ y`(0)=0 ⇒ имеем два интервала: -∞+0-+∞ Знак интервала определили простой подстановкой значений из интервала в уравнение у`=-2x y`>0 - функция убывает. y`<0 - функция возрастает. 4. Исследование на вогнутость и выпуклость: Точка перегиба х=0 у=4-х²=0 х₁ -2 х₂=2 -∞+-2+0-2-+∞ ⇒ x∈(-∞;0) - выпуклая. x∈(0;+∞) - вогнутая. Вывод: это парабола, опущенная вниз, вершина которой поднята относительно оси ОУ на 4 единицы.
f`(x₀)=k
k- угловой коэффициент касательной в этой точке
В условии пропущен один знак
f(x)=4x^3-7x^2 ? 2x-1 Поэтому, если там знак +, то решение такое
f `(x)=(4x³-7x²+ 2x-1)`=12x²-14x+2
f `(x₀)=12x₀²-14x₀+2
По условию
f `(x₀)=2
Решаем уравнение
12x₀²-14x₀+2=2
2х₀(6х₀-7)=0
х₀=0 или 6х₀=7
х₀=7/6
если там знак -, то решение такое
f `(x)=(4x³-7x²- 2x-1)`=12x²-14x-2
f `(x₀)=12x₀²-14x₀-2
По условию
f `(x₀)=2
Решаем уравнение
12x₀²-14x₀-2=2
6x₀²-7x₀-2=0
D=49-4·6·(-2)=49+48=97
х₀=(7-√97)/12 или х₀=(7+√97)/12
1. ОДЗ: x∈(-∞;+∞)
2. Чётность функции: 4-х²=4-(-х)²≡4-х², ⇒ функция чётная (симметричная относительно оси ОУ).
3. Критические точки:
y`=(4-x²)`=-2x=0
у(0)=4-0²=4 ⇒ уmax=4, а (0;4) - точка перегиба.
x=0 y`=0 ⇒ y`(0)=0 ⇒ имеем два интервала:
-∞+0-+∞
Знак интервала определили простой подстановкой значений из интервала в уравнение у`=-2x
y`>0 - функция убывает.
y`<0 - функция возрастает.
4. Исследование на вогнутость и выпуклость:
Точка перегиба х=0
у=4-х²=0 х₁ -2 х₂=2
-∞+-2+0-2-+∞ ⇒
x∈(-∞;0) - выпуклая.
x∈(0;+∞) - вогнутая.
Вывод: это парабола, опущенная вниз, вершина которой поднята относительно оси ОУ на 4 единицы.