1. иррационал сандарды теріп жазыңыз: 19; 23 − ; 7 ; 5,639; 16 ; 2 2 ; π ; 4,(3)
2. аралығында мына сандар болатын қатарлас екі бүтін санды жазыңыз: a) 8,9 b) 160
3. бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан арылып, өрнекті ықшамдаңыз: a b a ab b 2 2 4 + + +
4. өрнектің мәнін табыңыз: (4 3 − 2 5)⋅ 3 + 60 [3] 5. у = − x функциясы берілген.
a) функцияның графигін сызыңыз;
b) функцияның анықталу облысын;
c) х = 16 болғандағы функцияның мәнін;
d) у=-3 болғандағы х-тің мәнін табыңыз.
Возможно, существует и другой метод доказательства, но я буду использовать метод от противного.
Итак, нужно доказать, что
, то есть
Перепишем наше равенство, переместив все в левую часть:
1) Предположим, что
(при этом подразумевая, что
)
Тогда получаем следующее:
Далее смотрим: слева неотрицательное выражение всегда, а справа может быть и отрицательное, но у нас по условию дано, что для любых действительных чисел равенство выполняется, а здесь это далеко не так (на языке математики запись такая:
)
Возможно, это не очень явно, поэтому вспомним, что по предположению
, и доделаем:
А это прямо яркий пример противоречия: предположив, что
, мы получили
.
Из этого следует, что
, но и из предположенного же
уже следует, что
.
Вообще, по идее, этого уже достаточно, ну на всякий случай посмотрим ещё:
2) Предположим, что
(при этом
)
И тогда уже точно исходя из пунктов 1) и 2), получаем
Используя формулу тангенса суммы аргументов получим:
так как по условию π < α < 3π/ 2, то −1<cosα<0 ⇒ cosα≠0,
мы можем умножить числитель и знаменатель дроби на cosα:
tg(α + π/4) = tg α + tg π/4 / 1 - tg α × tg π/4 = tg α + 1/1 - tg α × 1 = tg α + 1/1 - tg α = sin α/cos α + 1 / 1 - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α / cos α - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α - sin α
2. Используя основное тождество тригонометрии: sin²α + cos²α = 1 найдем cos α:
sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos α = √1 - sin²α
cos α = √1 - (-12/13)² = √1 - 144/169 = √25/169 = 5/13
3) И теперь находим tg(α + π/4) по нахождению про sin α и cos α:
tg(α + π/4) = tg α + tg π/4 / 1 - tg α × tg π/4 = tg α + 1/1 - tg α × 1 = tg α + 1/1 - tg α = sin α/cos α + 1 / 1 - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α / cos α - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α - sin α = -12/13 + 5/13 / 5/13 - (-12/13) = -7/13 / 5/13 + 12/13 = -7/13 / 17/13 = -7/13 × 13/17 = -7/17
ответ: tg(α + π/4) = -7/17