1) докажите, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей делится на 3. 2)докажите, что если x и y не кратны 3, то разность x^2 - y^2 кратна 3. указание для 1 и 2: запишите формулу числа, которое не делится на 3 (остатки при делении на 3 – 1 или 2), поэтому два случая рассмотреть нужно. заранее огромное
1) Если натуральное число не делится на 3, то при делении на 3
оно даёт в остатке 1, или 2. Значит, его можно записать в виде:
(3n – 1) или (3n – 2), где n - натуральное число.
А) (3n – 1)² - 1 = 9n² – 6n + 1 – 1 = 9n² – 6n = 3*(3n² – 2n),
а значит делится на 3 (один из множителей (т.е. 3) делится на 3.
Б) (3n – 2)² – 1 = 9n² – 12n + 4 – 1 = 9n² – 12n + 3 =
= 3*(n² – 4n + 1), а значит делится на 3 один из множителей (т.е. 3)
делится на 3. Таким образом, разность между квадратом числа,
которое не делится на 3, и единицей делится на 3
2) эти числа можно представить как 3x+1 и 3x+2,
где х - любое натуральное число.
Тогда надо проверить на делимость на 3 следующее выражение:
(3х+2)² - (3х+1)² = 9x²+ 12x + 4 - 9x² - 6x - 1 = 6x + 3
= = 3*(2x + 1) - а это выражение делится на 3