1. Доказать, что (uv)`` = u``v+2u`v` + uv`` и найти y``(x) для функции: y=cos(x)·e(x^2)

Сложим 1,3 ,а так же 2 и 4 выражение:

Упростим:1)+3)

(sin(4pi/15)-sin(pi/15))/sin(4*pi/15)*sin(pi/5)=

2*sin(pi/10)*cos(pi/6)/(1/2*(cos(pi/5)-cos(pi/3))=2*sqrt(3) * (sin(pi/10))/(cos(pi/5)-1/2) (использована формула разности и произведения синусов)

Абсолютно аналогично упрощаем 2)+4):

2*sqrt(3)*(cos(pi/5))/(сos(2*pi/5)+1/2)

и вот самое непростое. Необходимо доказать что:

sin(pi/10)/(cos(pi/5)-1/2) +cos(pi/5)/(cos(2*pi/5)+1/2) =2

Пусть sin(pi/10)=t

сos(pi/2-2*pi/5)=cos(3*pi/5)=sin(2*pi/5)

используя формулу двойного и

тройного угла получим:

1-2t^2=3t-4t^3

4t^3-3t-2*t^2+1=0

(t-1)*(4*t^2+2*t+1)=0

t=1 не подходит

4*t^2+2t-1=0

4t^2=-2t+1

2*(1-cos(pi/5))=-2t+1 (понижение степени)

2-2*cos(pi/5)=-2t+1

сos(pi/5)=t+ 1/2

cos(2pi/5)=sin(pi/2-2*pi/5)=sin(pi/10)=t

Тогда можно упростить данное выражение:

t/(t+1/2 -1/2)+ (t+1/2)/(t+1/2)=2

Что и требовалось доказать

(x-2)^(2)* (x-2)^(2)-4x^(2) + 16x-61=0;

(x^(2)-4x+4)* ( x^(2)-4x+4 ) - 4x^(2) + 16x-61=0;

x^(4)-4x^(3)+4x^(2)-4x(3)+16x^(2)-16x+4x^(2) -16x+16-4x^(2)+16x-61=0;

x^(4)-8x^(3)+20x^(2)-16x-45=0;

Понижаем степень с схемы Горнера:

         Делители -45: +-1, +-3, +-5, +-9, +-15, +-45

         x=1: 1-8+12-16-45=-48 - не подходит

         x=-1: 1+8+20+16-45=0  - подходит

               |  1    -8     20     -16     -45 

               |        -1    +9      -29     +45

               |

         -1   |  1     -9     29     -45       0  -  остаток

X1=-1

x^(3)-9x^(2)+29x-45

Понижаем степень: (аналогично)

X2=5

x^(2)-4x+9=0;

D=16-36<0 решений нет.

ответ: -1;5