1) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC
в точке K. Найдите периметр параллелограмма,

2) Найдите sinB. В треугольнике ABC угол C равен 90°, если

3) Найдите OM. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O.

1) если BK=3, CK=9.

2) AC=6, AB=10.

3) AN=12, CM=15.

Пусть c = cos(x), s = sin(x).

1) ОДЗ: cos(x) <> 0 => x <> p/2 + 2pn

Домножим обе части равенства на cos(x) <> 0:

2с^2 - 2sc + s - c = 0
(c - s)(2c - 1) = 0

cos(x) = sin(x) => 1 - tg(x) = 0 => tg(x) = 1 => x = p/4 + pn
2c - 1 = 0
cos(x) = 0.5 => x = +-p/3 + 2pn

В итоге x = +-p/3 + 2pn, x = p/4 + pn.
Так как нас интересуют значения х на промежутке
[3p/2;3p], т.е 1.5р...3р, то подходят 2p - p/3, 2p + p/4, 2p + p/3.

ответ: 2p + p/3, 2p - p/3, 2p + p/4.

2) sinx+1/1-cos2x=sinx+1/1+cos(p/2+x)
(s+1)/(2*s*s) = (s + 1)/(1 - s)

ОДЗ:
sin(x) <> 0 => x <> pn
sin(x) <> 1 =>  x <> p/2 + 2pn

s + 1 = 0 => sin(x) = -1 => x = 2pn - p/2
2s*s = 1 - s
2s*s + s - 1 = 0

Решим как квадратное уравнение:

s1 = 2/4 = 0.5 => sin(x) = 0.5 => x = (-1)^n*(p/6) + pn
s2 = -4/4 = -1 (такие корни уже были)

В итоге: x = 2pn - p/2, x = (-1)^n*(p/6) + pn.
Причем x <> pn, x <> p/2 + 2pn.
По условию нужно выбрать корни на промежутке [-3p/2;-p/2], т. е. от -1.5р до -0.5р.

2pn - p/2:
при n = 1: x = -1.5p, но так как x <> p/2 + 2pn, этот корень не подходит.
при n = 0: x = -0.5p.

(-1)^n*(p/6) + pn:
при n = -1: x = -p - p/6.

ответ: x = -0.5p, x = -p - p/6.

1).  { ab = 420
      { a² + b² = 29²

      { a = 420/b
      { (420/b)² + b² = 841

       176400 + b⁴ = 841b²           b² = x
        x² - 841x + 176400 = 0       D = b²-4ac = 707281 - 705600 = 1681 = 41²

        x₁ = (-b+√D)/2a = (841+41):2 = 441
        x₂ = (-b -√D)/2a = (841- 41):2 = 400

         b₁ = √x₁ = √441 = 21 (см)       a₁ = 420/b₁ = 20 (см)
         b₂ = √x₂ = √400 = 20 (см)       a₂ = 420/b₂ = 21 (см)

Периметр прямоугольника: P = 2*(a + b) = 2*41 = 82 (см)

ответ: 82 см

2). Примем за х количество дней, которое по плану должен был затратить на выполнение задания токарь. За у - количество деталей задания. Тогда:

     { 24x = y
     { (24+15)(x - 6) = y + 21

      39x - 234 = 24x + 21
       15x = 255
           x = 17 (дн.) - время выполнения задания по плану.

      24х + 21 = 24*17 + 21 = 429 (дет.) - всего изготовил токарь.

ответ: 429 деталей.