2. Углы в 65° равны как накрест лежащие, следовательно AB || CD, следовательно угол а равен 85° как соответственный.
3. <BAC + <AMK = 180°, а они односторонние углы, следовательно MK || AC, следовательно <MKB = <ACB, следовательно <MKB - <ACB = 0.
4. Пусть x - коэффициент пропорциональности, следовательно углы будут 2x и 7x.
Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°, следовательно составляем уравнение.
2x + 7x = 180
9x = 180
x = 20
Меньший угол будет равен 2 × 20 = 40°.
5. (см. рисунок)
<CBM = <BMA как накрест лежащие (т. к. BC || AD по условию).
<ABM = <BMA, следовательно треугольник ABM - равнобедренный.
★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★
Дано:
Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.
Точка О — серединная точка для отрезков АМ и ВК (ОА = ОМ ; ОВ = ОК).
Доказать:
АВ║МК.
Доказательство:
ⵈ◊ⵈ Для седьмого класса ⵈ◊ⵈ
Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.
Рассмотрим ΔАОВ и ΔМОК.
ОА = ОМ (по условию).
ОВ = ОК (по условию).
∠АОВ = ∠МОК (как вертикальные).
Следовательно, ΔАОВ = ΔМОК по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
▸В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы◂
ОВ = ОК.
Следовательно, ∠ВАО = ∠ОМК.
Рассмотрим прямые АВ и МК при секущей АМ.
▸Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны◂
Накрест лежащие ∠ВАО = ∠ОМК (по выше доказанному), следовательно, АВ║МК (по выше сказанному).
ⵈ◊ⵈ Для восьмого класса ⵈ◊ⵈ
Рассмотрим получившиеся выпуклый четырёхугольник АКМВ.
АМ и ВК — диагонали.
▸Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм◂
Следовательно, четырёхугольник АКМВ — параллелограмм.
▸Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны ◂
Поэтому, по выше сказанному —
АВ║МК ; АК║ВМ
Объяснение:
2. Углы в 65° равны как накрест лежащие, следовательно AB || CD, следовательно угол а равен 85° как соответственный.
3. <BAC + <AMK = 180°, а они односторонние углы, следовательно MK || AC, следовательно <MKB = <ACB, следовательно <MKB - <ACB = 0.
4. Пусть x - коэффициент пропорциональности, следовательно углы будут 2x и 7x.
Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°, следовательно составляем уравнение.
2x + 7x = 180
9x = 180
x = 20
Меньший угол будет равен 2 × 20 = 40°.
5. (см. рисунок)
<CBM = <BMA как накрест лежащие (т. к. BC || AD по условию).
<ABM = <BMA, следовательно треугольник ABM - равнобедренный.
★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★
Дано:
Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.
Точка О — серединная точка для отрезков АМ и ВК (ОА = ОМ ; ОВ = ОК).
Доказать:
АВ║МК.
Доказательство:
ⵈ◊ⵈ Для седьмого класса ⵈ◊ⵈ
Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.
Рассмотрим ΔАОВ и ΔМОК.
ОА = ОМ (по условию).
ОВ = ОК (по условию).
∠АОВ = ∠МОК (как вертикальные).
Следовательно, ΔАОВ = ΔМОК по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
▸В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы◂
ОВ = ОК.
Следовательно, ∠ВАО = ∠ОМК.
Рассмотрим прямые АВ и МК при секущей АМ.
▸Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны◂
Накрест лежащие ∠ВАО = ∠ОМК (по выше доказанному), следовательно, АВ║МК (по выше сказанному).
ⵈ◊ⵈ Для восьмого класса ⵈ◊ⵈ
Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.
Рассмотрим получившиеся выпуклый четырёхугольник АКМВ.
АМ и ВК — диагонали.
▸Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм◂
ОА = ОМ (по условию).
ОВ = ОК (по условию).
Следовательно, четырёхугольник АКМВ — параллелограмм.
▸Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны ◂
Поэтому, по выше сказанному —
АВ║МК ; АК║ВМ
Объяснение: